Тригонометрия Примеры

$\sin (4 x) \cos (x) - \sin (x) \cos (4 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $[0, 2 π)$

Этап 1

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x = \frac{5 π}{12} + \frac{2 π n}{3}, \frac{7 π}{12} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 2

Найдем значения $n$ , которые позволяют получить значение в интервале $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $0$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим $0$ вместо $n$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π (0)}{3}$

Этап 2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $2 π (0)$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

Этап 2.1.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Этап 2.1.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Этап 2.1.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

Этап 2.1.2.1.1.2.4

Разделим $2 π \cdot (0)$ на $1$ .

$\frac{5 π}{12} + 2 π \cdot (0)$

Этап 2.1.2.1.2

Умножим $2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.2.1

Умножим $0$ на $2$ .

$\frac{5 π}{12} + 0 π$

Этап 2.1.2.1.2.2

Умножим $0$ на $π$ .

$\frac{5 π}{12} + 0$

Этап 2.1.2.2

Добавим $\frac{5 π}{12}$ и $0$ .

$\frac{5 π}{12}$

Этап 2.1.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{5 π}{12}$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Этап 2.2

Подставим $0$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Подставим $0$ вместо $n$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π (0)}{3}$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $2 π (0)$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

Этап 2.2.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Этап 2.2.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{7 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Этап 2.2.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

Этап 2.2.2.1.1.2.4

Разделим $2 π \cdot (0)$ на $1$ .

$\frac{7 π}{12} + 2 π \cdot (0)$

Этап 2.2.2.1.2

Умножим $2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.2.1

Умножим $0$ на $2$ .

$\frac{7 π}{12} + 0 π$

Этап 2.2.2.1.2.2

Умножим $0$ на $π$ .

$\frac{7 π}{12} + 0$

Этап 2.2.2.2

Добавим $\frac{7 π}{12}$ и $0$ .

$\frac{7 π}{12}$

Этап 2.2.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{7 π}{12}$ .

$x = \frac{5 π}{12}, \frac{7 π}{12}$

Этап 2.3

Подставим $1$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим $1$ вместо $n$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π (1)}{3}$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π}{3}$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $\frac{2 π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 2.3.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Умножим $\frac{2 π}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Этап 2.3.2.3.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π \cdot 4}{12}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 π + 2 π \cdot 4}{12}$

Этап 2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{5 π + 8 π}{12}$

Этап 2.3.2.5.2

Добавим $5 π$ и $8 π$ .

$\frac{13 π}{12}$

Этап 2.3.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{13 π}{12}$ .

$x = \frac{5 π}{12}, \frac{7 π}{12}, \frac{13 π}{12}$

Этап 2.4

Подставим $1$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Подставим $1$ вместо $n$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π (1)}{3}$

Этап 2.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π}{3}$

Этап 2.4.2.2

Чтобы записать $\frac{2 π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 2.4.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Умножим $\frac{2 π}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Этап 2.4.2.3.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π \cdot 4}{12}$

Этап 2.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7 π + 2 π \cdot 4}{12}$

Этап 2.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.5.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{7 π + 8 π}{12}$

Этап 2.4.2.5.2

Добавим $7 π$ и $8 π$ .

$\frac{15 π}{12}$

Этап 2.4.2.6

Сократим общий множитель $15$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $15 π$ .

$\frac{3 (5 π)}{12}$

Этап 2.4.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$\frac{3 (5 π)}{3 (4)}$

Этап 2.4.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (5 π)}{3 \cdot 4}$

Этап 2.4.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 π}{4}$

Этап 2.4.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{5 π}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{12}, \frac{7 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{5 π}{4}$

Этап 2.5

Подставим $2$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Подставим $2$ вместо $n$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π (2)}{3}$

Этап 2.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{4 π}{3}$

Этап 2.5.2.2

Чтобы записать $\frac{4 π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 2.5.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Умножим $\frac{4 π}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{4 π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.3.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{4 π \cdot 4}{12}$

Этап 2.5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 π + 4 π \cdot 4}{12}$

Этап 2.5.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{5 π + 16 π}{12}$

Этап 2.5.2.5.2

Добавим $5 π$ и $16 π$ .

$\frac{21 π}{12}$

Этап 2.5.2.6

Сократим общий множитель $21$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $21 π$ .

$\frac{3 (7 π)}{12}$

Этап 2.5.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$\frac{3 (7 π)}{3 (4)}$

Этап 2.5.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (7 π)}{3 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{7 π}{4}$

Этап 2.5.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{7 π}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{12}, \frac{7 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}$

Этап 2.6

Подставим $2$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Подставим $2$ вместо $n$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π (2)}{3}$

Этап 2.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{4 π}{3}$

Этап 2.6.2.2

Чтобы записать $\frac{4 π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 2.6.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1

Умножим $\frac{4 π}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{4 π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Этап 2.6.2.3.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{4 π \cdot 4}{12}$

Этап 2.6.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7 π + 4 π \cdot 4}{12}$

Этап 2.6.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.5.1

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{7 π + 16 π}{12}$

Этап 2.6.2.5.2

Добавим $7 π$ и $16 π$ .

$\frac{23 π}{12}$

Этап 2.6.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{23 π}{12}$ .

$x = \frac{5 π}{12}, \frac{7 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}, \frac{23 π}{12}$

Этап 3