Тригонометрия Примеры

$\cos (2 θ) + \cos (θ) = 0$ , $0 \leq θ \leq 360$

Этап 1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (θ) - 1 + \cos (θ) = 0$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Изменим порядок членов.

$2 \cos^{2} (θ) + \cos (θ) - 1 = 0$

Этап 2.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим на $1$ .

$2 \cos^{2} (θ) + 1 \cos (θ) - 1 = 0$

Этап 2.2.2

Запишем $1$ как $- 1$ плюс $2$

$2 \cos^{2} (θ) + (- 1 + 2) \cos (θ) - 1 = 0$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cos^{2} (θ) - 1 \cos (θ) + 2 \cos (θ) - 1 = 0$

Этап 2.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 \cos^{2} (θ) - 1 \cos (θ) + 2 \cos (θ) - 1 = 0$

Этап 2.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\cos (θ) (2 \cos (θ) - 1) + 1 (2 \cos (θ) - 1) = 0$

Этап 2.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 \cos (θ) - 1$ .

$(2 \cos (θ) - 1) (\cos (θ) + 1) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 \cos (θ) - 1 = 0$

$\cos (θ) + 1 = 0$

Этап 4

Приравняем $2 \cos (θ) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $2 \cos (θ) - 1$ к $0$ .

$2 \cos (θ) - 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $2 \cos (θ) - 1 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 \cos (θ) = 1$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $2 \cos (θ) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $2 \cos (θ) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (θ)$ на $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

Этап 4.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Этап 4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Точное значение $\arccos (\frac{1}{2})$ : $60$ .

$θ = 60$

Этап 4.2.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $360$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 360 - 60$

Этап 4.2.6

Вычтем $60$ из $360$ .

$θ = 300$

Этап 4.2.7

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 4.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 4.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 4.2.7.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 4.2.8

Период функции $\cos (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $\cos (θ) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\cos (θ) + 1$ к $0$ .

$\cos (θ) + 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $\cos (θ) + 1 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\cos (θ) = - 1$

Этап 5.2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (- 1)$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $180$ .

$θ = 180$

Этап 5.2.4

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $360$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 360 - 180$

Этап 5.2.5

Вычтем $180$ из $360$ .

$θ = 180$

Этап 5.2.6

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 5.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 5.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 5.2.6.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 5.2.7

Период функции $\cos (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 180 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 \cos (θ) - 1) (\cos (θ) + 1) = 0$ верно.

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n, 180 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим ответы.

$θ = 60 + 120 n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Найдем значения $n$ , которые позволяют получить значение в интервале $[0, 360]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Подставим $0$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 360]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Подставим $0$ вместо $n$ .

$60 + 120 (0)$

Этап 8.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Умножим $120$ на $0$ .

$60 + 0$

Этап 8.1.2.2

Добавим $60$ и $0$ .

$60$

Этап 8.1.3

Интервал $[0, 360]$ содержит $60$ .

$θ = 60$

Этап 8.2

Подставим $1$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 360]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Подставим $1$ вместо $n$ .

$60 + 120 (1)$

Этап 8.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Умножим $120$ на $1$ .

$60 + 120$

Этап 8.2.2.2

Добавим $60$ и $120$ .

$180$

Этап 8.2.3

Интервал $[0, 360]$ содержит $180$ .

$θ = 60, 180$

Этап 8.3

Подставим $2$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 360]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Подставим $2$ вместо $n$ .

$60 + 120 (2)$

Этап 8.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Умножим $120$ на $2$ .

$60 + 240$

Этап 8.3.2.2

Добавим $60$ и $240$ .

$300$

Этап 8.3.3

Интервал $[0, 360]$ содержит $300$ .

$θ = 60, 180, 300$