Тригонометрия Примеры

$\sec (θ) = \frac{6}{5}$ , $\tan (θ) < 0$

Этап 1

The tangent function is negative in the second and fourth quadrants. The secant function is positive in the first and fourth quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the fourth quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

Решение находится в четвертом квадранте.

Этап 2

Воспользуемся определением секанса, чтобы найти известные стороны прямоугольного треугольника, вписанного в единичную окружность. Квадрант определяет знак каждого значения.

$\sec (θ) = \frac{гипотенуза}{смежные}$

Этап 3

Найдем противолежащую сторону треугольника в единичной окружности. Поскольку прилежащая сторона и гипотенуза известны, используем теорему Пифагора, чтобы найти оставшуюся сторону.

$Противоположные = - \sqrt{{гипотенуза}^{2} - {смежные}^{2}}$

Этап 4

Заменим известные значения в уравнении.

$Противоположные = - \sqrt{{(6)}^{2} - {(5)}^{2}}$

Этап 5

Упростим подкоренное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим знак $\sqrt{{(6)}^{2} - {(5)}^{2}}$ на противоположный.

Противоположный $= - \sqrt{{(6)}^{2} - {(5)}^{2}}$

Этап 5.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

Противоположный $= - \sqrt{36 - {(5)}^{2}}$

Этап 5.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

Противоположный $= - \sqrt{36 - 1 \cdot 25}$

Этап 5.4

Умножим $- 1$ на $25$ .

Противоположный $= - \sqrt{36 - 25}$

Этап 5.5

Вычтем $25$ из $36$ .

Противоположный $= - \sqrt{11}$

Этап 6

Найдем значение синуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Воспользуемся определением синуса, чтобы найти значение $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Этап 6.2

Подставим известные значения.

$\sin (θ) = \frac{- \sqrt{11}}{6}$

Этап 6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{11}}{6}$

Этап 7

Найдем значение косинуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Воспользуемся определением косинуса, чтобы найти значение $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Этап 7.2

Подставим известные значения.

$\cos (θ) = \frac{5}{6}$

Этап 8

Найдем значение тангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Воспользуемся определением тангенса, чтобы найти значение $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Этап 8.2

Подставим известные значения.

$\tan (θ) = \frac{- \sqrt{11}}{5}$

Этап 8.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{11}}{5}$

Этап 9

Найдем значение котангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Воспользуемся определением котангенса, чтобы найти значение $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Этап 9.2

Подставим известные значения.

$\cot (θ) = \frac{5}{- \sqrt{11}}$

Этап 9.3

Упростим значение $\cot (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cot (θ) = - \frac{5}{\sqrt{11}}$

Этап 9.3.2

Умножим $\frac{5}{\sqrt{11}}$ на $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\cot (θ) = - (\frac{5}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}})$

Этап 9.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Умножим $\frac{5}{\sqrt{11}}$ на $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\cot (θ) = - \frac{5 \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Этап 9.3.3.2

Возведем $\sqrt{11}$ в степень $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{5 \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Этап 9.3.3.3

Возведем $\sqrt{11}$ в степень $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{5 \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Этап 9.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cot (θ) = - \frac{5 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{5 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}}$

Этап 9.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{11}}^{2}$ в виде $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{11}$ в виде $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (θ) = - \frac{5 \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = - \frac{5 \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cot (θ) = - \frac{5 \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\cot (θ) = - \frac{5 \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\cot (θ) = - \frac{5 \sqrt{11}}{11}$

Этап 9.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\cot (θ) = - \frac{5 \sqrt{11}}{11}$

Этап 10

Найдем значение косеканса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Воспользуемся определением косеканса, чтобы найти значение $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Этап 10.2

Подставим известные значения.

$\csc (θ) = \frac{6}{- \sqrt{11}}$

Этап 10.3

Упростим значение $\csc (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\csc (θ) = - \frac{6}{\sqrt{11}}$

Этап 10.3.2

Умножим $\frac{6}{\sqrt{11}}$ на $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{6}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}})$

Этап 10.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.3.1

Умножим $\frac{6}{\sqrt{11}}$ на $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{6 \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Этап 10.3.3.2

Возведем $\sqrt{11}$ в степень $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{6 \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Этап 10.3.3.3

Возведем $\sqrt{11}$ в степень $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{6 \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Этап 10.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\csc (θ) = - \frac{6 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

Этап 10.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{6 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}}$

Этап 10.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{11}}^{2}$ в виде $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{11}$ в виде $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{6 \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 10.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{6 \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 10.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{6 \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\csc (θ) = - \frac{6 \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\csc (θ) = - \frac{6 \sqrt{11}}{11}$

Этап 10.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\csc (θ) = - \frac{6 \sqrt{11}}{11}$

Этап 11

Это решение для каждого тригонометрического значения.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{11}}{6}$

$\cos (θ) = \frac{5}{6}$

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{11}}{5}$

$\cot (θ) = - \frac{5 \sqrt{11}}{11}$

$\sec (θ) = \frac{6}{5}$

$\csc (θ) = - \frac{6 \sqrt{11}}{11}$