Тригонометрия Примеры

$p (x) = 27 x^{3} - 64$

Этап 1

Приравняем $27 x^{3} - 64$ к $0$ .

$27 x^{3} - 64 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $64$ к обеим частям уравнения.

$27 x^{3} = 64$

Этап 2.2

Вычтем $64$ из обеих частей уравнения.

$27 x^{3} - 64 = 0$

Этап 2.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем $27 x^{3}$ в виде ${(3 x)}^{3}$ .

${(3 x)}^{3} - 64 = 0$

Этап 2.3.2

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

${(3 x)}^{3} - 4^{3} = 0$

Этап 2.3.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = 3 x$ и $b = 4$ .

$(3 x - 4) ({(3 x)}^{2} + 3 x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 2.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Применим правило умножения к $3 x$ .

$(3 x - 4) (3^{2} x^{2} + 3 x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 2.3.4.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$(3 x - 4) (9 x^{2} + 3 x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 2.3.4.3

Умножим $4$ на $3$ .

$(3 x - 4) (9 x^{2} + 12 x + 4^{2}) = 0$

Этап 2.3.4.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$(3 x - 4) (9 x^{2} + 12 x + 16) = 0$

Этап 2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 4 = 0$

$9 x^{2} + 12 x + 16 = 0$

Этап 2.5

Приравняем $3 x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $3 x - 4$ к $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $3 x - 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 4$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $3 x = 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 4$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 2.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Этап 2.6

Приравняем $9 x^{2} + 12 x + 16$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $9 x^{2} + 12 x + 16$ к $0$ .

$9 x^{2} + 12 x + 16 = 0$

Этап 2.6.2

Решим $9 x^{2} + 12 x + 16 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.6.2.2

Подставим значения $a = 9$ , $b = 12$ и $c = 16$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 16)}}{2 \cdot 9}$

Этап 2.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot 16}}{2 \cdot 9}$

Этап 2.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 9 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot 16}}{2 \cdot 9}$

Этап 2.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 36$ на $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 9}$

Этап 2.6.2.3.1.3

Вычтем $576$ из $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 9}$

Этап 2.6.2.3.1.4

Перепишем $- 432$ в виде $- 1 (432)$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 9}$

Этап 2.6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (432)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 9}$

Этап 2.6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 9}$

Этап 2.6.2.3.1.7

Перепишем $432$ в виде $12^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $144$ из $432$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 9}$

Этап 2.6.2.3.1.7.2

Перепишем $144$ в виде $12^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Этап 2.6.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Этап 2.6.2.3.1.9

Перенесем $12$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Этап 2.6.2.3.2

Умножим $2$ на $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{18}$

Этап 2.6.2.3.3

Упростим $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.6.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x - 4) (9 x^{2} + 12 x + 16) = 0$ верно.

$x = \frac{4}{3}, - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{3}$

Этап 3