Тригонометрия Примеры

$f (x) = \sqrt{5 x - 5}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \sqrt{5 x - 5}$ в виде уравнения.

$y = \sqrt{5 x - 5}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt{5 y - 5}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{5 y - 5} = x$ .

$\sqrt{5 y - 5} = x$

Этап 3.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{5 y - 5}}^{2} = x^{2}$

Этап 3.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 y - 5}$ в виде ${(5 y - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${({(5 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(5 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(5 y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(5 y - 5)}^{1} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим.

$5 y - 5 = x^{2}$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$5 y = x^{2} + 5$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $5 y = x^{2} + 5$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $5 y = x^{2} + 5$ на $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{x^{2}}{5} + \frac{5}{5}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 y}{5} = \frac{x^{2}}{5} + \frac{5}{5}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{5}{5}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Разделим $5$ на $5$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} + 1$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{5} + 1$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{5} + 1$ обратной к $f (x) = \sqrt{5 x - 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{{(\sqrt{5 x - 5})}^{2}}{5} + 1$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{{\sqrt{5 (x) - 5}}^{2}}{5} + 1$

Этап 5.2.3.1.1.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{{\sqrt{5 (x) + 5 (- 1)}}^{2}}{5} + 1$

Этап 5.2.3.1.1.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (x) + 5 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{{\sqrt{5 (x - 1)}}^{2}}{5} + 1$

Этап 5.2.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{5 (x - 1)}}^{2}$ в виде $5 (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 (x - 1)}$ в виде ${(5 (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{{({(5 (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5} + 1$

Этап 5.2.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{{(5 (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5} + 1$

Этап 5.2.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{{(5 (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}{5} + 1$

Этап 5.2.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{{(5 (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}{5} + 1$

Этап 5.2.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{5 (x - 1)}{5} + 1$

Этап 5.2.3.1.2.5

Упростим.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{5 (x - 1)}{5} + 1$

Этап 5.2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{5 x + 5 \cdot - 1}{5} + 1$

Этап 5.2.3.1.4

Умножим $5$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{5 x - 5}{5} + 1$

Этап 5.2.3.1.5

Вынесем множитель $5$ из $5 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.5.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{5 (x) - 5}{5} + 1$

Этап 5.2.3.1.5.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{5 (x) + 5 (- 1)}{5} + 1$

Этап 5.2.3.1.5.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (x) + 5 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{5 (x - 1)}{5} + 1$

Этап 5.2.3.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{5 (x - 1)}{5} + 1$

Этап 5.2.3.2.2

Разделим $x - 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = x - 1 + 1$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x^{2}}{5} + 1)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 1) = \sqrt{5 (\frac{x^{2}}{5} + 1) - 5}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (\frac{x^{2}}{5} + 1) - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 1) = \sqrt{5 (\frac{x^{2}}{5} + 1) + 5 (- 1)}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $5$ из $5 (\frac{x^{2}}{5} + 1) + 5 (- 1)$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 1) = \sqrt{5 (\frac{x^{2}}{5} + 1 - 1)}$

Этап 5.3.4

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 1) = \sqrt{5 (\frac{x^{2}}{5} + 0)}$

Этап 5.3.4.2

Добавим $\frac{x^{2}}{5}$ и $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 1) = \sqrt{5 (\frac{x^{2}}{5})}$

Этап 5.3.5

Объединим $5$ и $\frac{x^{2}}{5}$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 1) = \sqrt{\frac{5 x^{2}}{5}}$

Этап 5.3.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Сократим выражение $\frac{5 x^{2}}{5}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{2}}{5} + 1) = \sqrt{\frac{5 x^{2}}{5}}$

Этап 5.3.6.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{2}}{5} + 1) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Этап 5.3.6.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 1) = \sqrt{x^{2}}$

Этап 5.3.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{x^{2}}{5} + 1) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{5} + 1$ — обратная к $f (x) = \sqrt{5 x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{5} + 1$