Тригонометрия Примеры

$f (x) = \sqrt{5 x - 20}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \sqrt{5 x - 20}$ в виде уравнения.

$y = \sqrt{5 x - 20}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt{5 y - 20}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{5 y - 20} = x$ .

$\sqrt{5 y - 20} = x$

Этап 3.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{5 y - 20}}^{2} = x^{2}$

Этап 3.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 y - 20}$ в виде ${(5 y - 20)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 y - 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${({(5 y - 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(5 y - 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 y - 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(5 y - 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(5 y - 20)}^{1} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим.

$5 y - 20 = x^{2}$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $20$ к обеим частям уравнения.

$5 y = x^{2} + 20$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $5 y = x^{2} + 20$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $5 y = x^{2} + 20$ на $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{x^{2}}{5} + \frac{20}{5}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 y}{5} = \frac{x^{2}}{5} + \frac{20}{5}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{20}{5}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Разделим $20$ на $5$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} + 4$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{5} + 4$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{5} + 4$ обратной к $f (x) = \sqrt{5 x - 20}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{{(\sqrt{5 x - 20})}^{2}}{5} + 4$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x - 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{{\sqrt{5 (x) - 20}}^{2}}{5} + 4$

Этап 5.2.3.1.1.2

Вынесем множитель $5$ из $- 20$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{{\sqrt{5 x + 5 \cdot - 4}}^{2}}{5} + 4$

Этап 5.2.3.1.1.3

Вынесем множитель $5$ из $5 x + 5 \cdot - 4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{{\sqrt{5 (x - 4)}}^{2}}{5} + 4$

Этап 5.2.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{5 (x - 4)}}^{2}$ в виде $5 (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 (x - 4)}$ в виде ${(5 (x - 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{{({(5 (x - 4))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5} + 4$

Этап 5.2.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{{(5 (x - 4))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5} + 4$

Этап 5.2.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{{(5 (x - 4))}^{\frac{2}{2}}}{5} + 4$

Этап 5.2.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{{(5 (x - 4))}^{\frac{2}{2}}}{5} + 4$

Этап 5.2.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{5 (x - 4)}{5} + 4$

Этап 5.2.3.1.2.5

Упростим.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{5 (x - 4)}{5} + 4$

Этап 5.2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{5 x + 5 \cdot - 4}{5} + 4$

Этап 5.2.3.1.4

Умножим $5$ на $- 4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{5 x - 20}{5} + 4$

Этап 5.2.3.1.5

Вынесем множитель $5$ из $5 x - 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.5.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{5 (x) - 20}{5} + 4$

Этап 5.2.3.1.5.2

Вынесем множитель $5$ из $- 20$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{5 x + 5 \cdot - 4}{5} + 4$

Этап 5.2.3.1.5.3

Вынесем множитель $5$ из $5 x + 5 \cdot - 4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{5 (x - 4)}{5} + 4$

Этап 5.2.3.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{5 (x - 4)}{5} + 4$

Этап 5.2.3.2.2

Разделим $x - 4$ на $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = x - 4 + 4$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x - 4 + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 4$ и $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x^{2}}{5} + 4)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 4) = \sqrt{5 (\frac{x^{2}}{5} + 4) - 20}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (\frac{x^{2}}{5} + 4) - 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $5$ из $- 20$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 4) = \sqrt{5 (\frac{x^{2}}{5} + 4) + 5 \cdot - 4}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $5$ из $5 (\frac{x^{2}}{5} + 4) + 5 \cdot - 4$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 4) = \sqrt{5 (\frac{x^{2}}{5} + 4 - 4)}$

Этап 5.3.4

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 4) = \sqrt{5 (\frac{x^{2}}{5} + 0)}$

Этап 5.3.4.2

Добавим $\frac{x^{2}}{5}$ и $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 4) = \sqrt{5 (\frac{x^{2}}{5})}$

Этап 5.3.5

Объединим $5$ и $\frac{x^{2}}{5}$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 4) = \sqrt{\frac{5 x^{2}}{5}}$

Этап 5.3.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Сократим выражение $\frac{5 x^{2}}{5}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{2}}{5} + 4) = \sqrt{\frac{5 x^{2}}{5}}$

Этап 5.3.6.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{2}}{5} + 4) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Этап 5.3.6.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 4) = \sqrt{x^{2}}$

Этап 5.3.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{x^{2}}{5} + 4) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{5} + 4$ — обратная к $f (x) = \sqrt{5 x - 20}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{5} + 4$