Тригонометрия Примеры

$f (x) = \frac{1}{2} \tan (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{1}{2} \tan (x)$ в виде уравнения.

$y = \frac{1}{2} \tan (x)$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{2} \cdot \tan (y)$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{2} \cdot \tan (y) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \tan (y) = x$

Этап 3.2

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \tan (y)) = 2 x$

Этап 3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} \tan (y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\tan (y)$ .

$2 \frac{\tan (y)}{2} = 2 x$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\tan (y)}{2} = 2 x$

Этап 3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\tan (y) = 2 x$

Этап 3.4

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из тангенса.

$y = \arctan (2 x)$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \arctan (2 x)$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \arctan (2 x)$ обратной к $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \tan (x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \tan (x)) = \arctan (2 (\frac{1}{2} \cdot \tan (x)))$

Этап 5.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\tan (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \tan (x)) = \arctan (2 (\frac{\tan (x)}{2}))$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \tan (x)) = \arctan (2 (\frac{\tan (x)}{2}))$

Этап 5.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \tan (x)) = \arctan (\tan (x))$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\arctan (2 x))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\arctan (2 x)) = \frac{1}{2} \cdot \tan (\arctan (2 x))$

Этап 5.3.3

Тангенс и арктангенс — обратные функции.

$f (\arctan (2 x)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f (\arctan (2 x)) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Этап 5.3.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\arctan (2 x)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Этап 5.3.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\arctan (2 x)) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \arctan (2 x)$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \tan (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \arctan (2 x)$