Тригонометрия Примеры

$16 x^{2} + 4 y^{2} + 96 x - 8 y + 84 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $84$ из обеих частей уравнения.

$16 x^{2} + 4 y^{2} + 96 x - 8 y = - 84$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $16 x^{2} + 96 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 16$

$b = 96$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{96}{2 \cdot 16}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $96$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $96$ .

$d = \frac{2 \cdot 48}{2 \cdot 16}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot 48}{2 (16)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 48}{2 \cdot 16}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{48}{16}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $48$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$d = \frac{16 \cdot 3}{16}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $16$ из $16$ .

$d = \frac{16 \cdot 3}{16 (1)}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{16 \cdot 3}{16 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{3}{1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$d = 3$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{96^{2}}{4 \cdot 16}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $96$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{9216}{4 \cdot 16}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $16$ .

$e = 0 - \frac{9216}{64}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $9216$ на $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 144$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $144$ .

$e = 0 - 144$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $144$ из $0$ .

$e = - 144$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $16 {(x + 3)}^{2} - 144$ .

$16 {(x + 3)}^{2} - 144$

Этап 1.3

Подставим $16 {(x + 3)}^{2} - 144$ вместо $16 x^{2} + 96 x$ в уравнение $16 x^{2} + 4 y^{2} + 96 x - 8 y = - 84$ .

$16 {(x + 3)}^{2} - 144 + 4 y^{2} - 8 y = - 84$

Этап 1.4

Перенесем $- 144$ в правую часть уравнения, прибавив $144$ к обеим частям.

$16 {(x + 3)}^{2} + 4 y^{2} - 8 y = - 84 + 144$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $4 y^{2} - 8 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

Этап 1.5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 4}{4}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

Этап 1.5.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Разделим $64$ на $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 0 - 4$

Этап 1.5.4.2.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$e = - 4$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 4$

Этап 1.6

Подставим $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ вместо $4 y^{2} - 8 y$ в уравнение $16 x^{2} + 4 y^{2} + 96 x - 8 y = - 84$ .

$16 {(x + 3)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} - 4 = - 84 + 144$

Этап 1.7

Перенесем $- 4$ в правую часть уравнения, прибавив $4$ к обеим частям.

$16 {(x + 3)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = - 84 + 144 + 4$

Этап 1.8

Упростим $- 84 + 144 + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $- 84$ и $144$ .

$16 {(x + 3)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 60 + 4$

Этап 1.8.2

Добавим $60$ и $4$ .

$16 {(x + 3)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 64$

Этап 1.9

Разделим каждый член на $64$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{16 {(x + 3)}^{2}}{64} + \frac{4 {(y - 1)}^{2}}{64} = \frac{64}{64}$

Этап 1.10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 4$

$b = 2$

$k = 1$

$h = - 3$

Этап 4

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 4.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(- 3, 1 + 4)$

Этап 4.3

Упростим.

$(- 3, 5)$

Этап 4.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 4.5

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(- 3, 1 - (4))$

Этап 4.6

Упростим.

$(- 3, - 3)$

Этап 4.7

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(- 3, 5)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 3, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 3, 5)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 3, - 3)$

Этап 5