Тригонометрия Примеры

$\frac{x - 4}{x + 5} < 4$

Этап 1

Вычтем $4$ из обеих частей неравенства.

$\frac{x - 4}{x + 5} - 4 < 0$

Этап 2

Упростим $\frac{x - 4}{x + 5} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{x - 4}{x + 5} - 4 \cdot \frac{x + 5}{x + 5} < 0$

Этап 2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{x - 4}{x + 5} + \frac{- 4 (x + 5)}{x + 5} < 0$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 4 - 4 (x + 5)}{x + 5} < 0$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - 4 - 4 x - 4 \cdot 5}{x + 5} < 0$

Этап 2.4.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$\frac{x - 4 - 4 x - 20}{x + 5} < 0$

Этап 2.4.3

Вычтем $4 x$ из $x$ .

$\frac{- 3 x - 4 - 20}{x + 5} < 0$

Этап 2.4.4

Вычтем $20$ из $- 4$ .

$\frac{- 3 x - 24}{x + 5} < 0$

Этап 2.4.5

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x - 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x$ .

$\frac{3 (- x) - 24}{x + 5} < 0$

Этап 2.4.5.2

Вынесем множитель $3$ из $- 24$ .

$\frac{3 (- x) + 3 (- 8)}{x + 5} < 0$

Этап 2.4.5.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x) + 3 (- 8)$ .

$\frac{3 (- x - 8)}{x + 5} < 0$

Этап 2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{3 (- (x) - 8)}{x + 5} < 0$

Этап 2.6

Перепишем $- 8$ в виде $- 1 (8)$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (8))}{x + 5} < 0$

Этап 2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (8)$ .

$\frac{3 (- (x + 8))}{x + 5} < 0$

Этап 2.8

Перепишем $- (x + 8)$ в виде $- 1 (x + 8)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 8))}{x + 5} < 0$

Этап 2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 (x + 8)}{x + 5} < 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x + 8 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 4

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x = - 8$

Этап 5

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - 8$

$x = - 5$

Этап 7

Объединим решения.

$x = - 8, - 5$

Этап 8

Найдем область определения $- \frac{3 (x + 8)}{x + 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим знаменатель в $\frac{3 (x + 8)}{x + 5}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 5 = 0$

Этап 8.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 5$

$x > - 5$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 10$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 10$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 10) - 4}{(- 10) + 5} < 4$

Этап 10.1.3

Левая часть $2.8$ меньше правой части $4$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- 8 < x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- 8 < x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 6) - 4}{(- 6) + 5} < 4$

Этап 10.2.3

Левая часть $10$ не меньше правой части $4$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $x > - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $x > - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) - 4}{(0) + 5} < 4$

Этап 10.3.3

Левая часть $- 0.8$ меньше правой части $4$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 8$ Истина

$- 8 < x < - 5$ Ложь

$x > - 5$ Истина

$x < - 8$ Истина

$- 8 < x < - 5$ Ложь

$x > - 5$ Истина

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 8$ или $x > - 5$

Этап 12

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 8) \cup (- 5, \infty)$

Этап 13