Тригонометрия Примеры

$\sin^{2} (32 °) + \cos^{2} (m) = 1$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sin^{2} (32 °) + \cos^{2} (m) - 1 = 0$

Этап 2

Упростим $\sin^{2} (32 °) + \cos^{2} (m) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перенесем $- 1$ .

$\sin^{2} (32 °) - 1 + \cos^{2} (m) = 0$

Этап 2.2

Изменим порядок $\sin^{2} (32 °)$ и $- 1$ .

$- 1 + \sin^{2} (32 °) + \cos^{2} (m) = 0$

Этап 2.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \sin^{2} (32 °) + \cos^{2} (m) = 0$

Этап 2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $\sin^{2} (32 °)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (32 °)) + \cos^{2} (m) = 0$

Этап 2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (32 °))$ .

$- 1 (1 - \sin^{2} (32 °)) + \cos^{2} (m) = 0$

Этап 2.6

Перепишем $- 1 (1 - \sin^{2} (32 °))$ в виде $- (1 - \sin^{2} (32 °))$ .

$- (1 - \sin^{2} (32 °)) + \cos^{2} (m) = 0$

Этап 2.7

Применим формулу Пифагора.

$- \cos^{2} (32 °) + \cos^{2} (m) = 0$

Этап 2.8

Изменим порядок $- \cos^{2} (32 °)$ и $\cos^{2} (m)$ .

$\cos^{2} (m) - \cos^{2} (32 °) = 0$

Этап 2.9

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \cos (m)$ и $b = \cos (32 °)$ .

$(\cos (m) + \cos (32 °)) (\cos (m) - \cos (32 °)) = 0$

Этап 2.10

Найдем значение $\cos (32 °)$ .

$(\cos (m) + 0.84804809) (\cos (m) - \cos (32 °)) = 0$

Этап 2.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Найдем значение $\cos (32 °)$ .

$(\cos (m) + 0.84804809) (\cos (m) - 1 \cdot 0.84804809) = 0$

Этап 2.11.2

Умножим $- 1$ на $0.84804809$ .

$(\cos (m) + 0.84804809) (\cos (m) - 0.84804809) = 0$

Этап 2.12

Развернем $(\cos (m) + 0.84804809) (\cos (m) - 0.84804809)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (m) (\cos (m) - 0.84804809) + 0.84804809 (\cos (m) - 0.84804809) = 0$

Этап 2.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (m) \cos (m) + \cos (m) \cdot - 0.84804809 + 0.84804809 (\cos (m) - 0.84804809) = 0$

Этап 2.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (m) \cos (m) + \cos (m) \cdot - 0.84804809 + 0.84804809 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

Этап 2.13

Объединим противоположные члены в $\cos (m) \cos (m) + \cos (m) \cdot - 0.84804809 + 0.84804809 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Изменим порядок множителей в членах $\cos (m) \cdot - 0.84804809$ и $0.84804809 \cos (m)$ .

$\cos (m) \cos (m) - 0.84804809 \cos (m) + 0.84804809 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

Этап 2.13.2

Добавим $- 0.84804809 \cos (m)$ и $0.84804809 \cos (m)$ .

$\cos (m) \cos (m) + 0 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

Этап 2.14

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Умножим $\cos (m) \cos (m)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1.1

Возведем $\cos (m)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (m) \cos (m) + 0 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

Этап 2.14.1.2

Возведем $\cos (m)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (m) \cos^{1} (m) + 0 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

Этап 2.14.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\cos (m)}^{1 + 1} + 0 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

Этап 2.14.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (m) + 0 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

Этап 2.14.2

Умножим $0$ на $\cos (m)$ .

$\cos^{2} (m) + 0 + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

Этап 2.14.3

Умножим $0.84804809$ на $- 0.84804809$ .

$\cos^{2} (m) + 0 - 0.71918557 = 0$

Этап 2.15

Добавим $\cos^{2} (m)$ и $0$ .

$\cos^{2} (m) - 0.71918557 = 0$

Этап 3

Решим относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $0.71918557$ к обеим частям уравнения.

$\cos^{2} (m) = 0.71918557$

Этап 3.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\cos (m) = \pm \sqrt{0.71918557}$

Этап 3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\cos (m) = \sqrt{0.71918557}$

Этап 3.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\cos (m) = - \sqrt{0.71918557}$

Этап 3.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\cos (m) = \sqrt{0.71918557}, - \sqrt{0.71918557}$

Этап 3.4

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $m$ .

$\cos (m) = \sqrt{0.71918557}$

$\cos (m) = - \sqrt{0.71918557}$

Этап 3.5

Решим относительно $m$ в $\cos (m) = \sqrt{0.71918557}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $m$ из косинуса.

$m = \arccos (\sqrt{0.71918557})$

Этап 3.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Найдем значение $\arccos (\sqrt{0.71918557})$ .

$m = 32$

Этап 3.5.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $360$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$m = 360 - 32$

Этап 3.5.4

Вычтем $32$ из $360$ .

$m = 328$

Этап 3.5.5

Найдем период $\cos (m)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 3.5.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 3.5.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 3.5.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 3.5.6

Период функции $\cos (m)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$m = 32 + 360 n, 328 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 3.6

Решим относительно $m$ в $\cos (m) = - \sqrt{0.71918557}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $m$ из косинуса.

$m = \arccos (- \sqrt{0.71918557})$

Этап 3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Найдем значение $\arccos (- \sqrt{0.71918557})$ .

$m = 148$

Этап 3.6.3

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $360$ и найдем решение в третьем квадранте.

$m = 360 - 148$

Этап 3.6.4

Вычтем $148$ из $360$ .

$m = 212$

Этап 3.6.5

Найдем период $\cos (m)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 3.6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 3.6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 3.6.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 3.6.6

Период функции $\cos (m)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$m = 148 + 360 n, 212 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 3.7

Перечислим все решения.

$m = 32 + 360 n, 328 + 360 n, 148 + 360 n, 212 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 3.8

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Объединим $32 + 360 n$ и $212 + 360 n$ в $32 + 180 n$ .

$m = 32 + 180 n, 328 + 360 n, 148 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 3.8.2

Объединим $328 + 360 n$ и $148 + 360 n$ в $148 + 180 n$ .

$m = 32 + 180 n, 148 + 180 n$ , для любого целого $n$