Тригонометрия Примеры

$14 (1 - \cos (θ)) = \sin^{2} (θ)$

Этап 1

Вычтем $\sin^{2} (θ)$ из обеих частей уравнения.

$14 (1 - \cos (θ)) - \sin^{2} (θ) = 0$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$14 \cdot 1 + 14 (- \cos (θ)) - \sin^{2} (θ) = 0$

Этап 2.2

Умножим $14$ на $1$ .

$14 + 14 (- \cos (θ)) - \sin^{2} (θ) = 0$

Этап 2.3

Умножим $- 1$ на $14$ .

$14 - 14 \cos (θ) - \sin^{2} (θ) = 0$

Этап 3

Заменим $\sin^{2} (θ)$ на $1 - \cos^{2} (θ)$ .

$14 - 14 \cos (θ) - (1 - \cos^{2} (θ)) = 0$

Этап 4

Решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $u$ вместо $\cos (θ)$ .

$14 - 14 u - (1 - {(u)}^{2}) = 0$

Этап 4.2

Упростим $14 - 14 u - (1 - u^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$14 - 14 u - 1 \cdot 1 - - u^{2} = 0$

Этап 4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$14 - 14 u - 1 - - u^{2} = 0$

Этап 4.2.1.3

Умножим $- - u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$14 - 14 u - 1 + 1 u^{2} = 0$

Этап 4.2.1.3.2

Умножим $u^{2}$ на $1$ .

$14 - 14 u - 1 + u^{2} = 0$

Этап 4.2.2

Вычтем $1$ из $14$ .

$- 14 u + 13 + u^{2} = 0$

Этап 4.3

Разложим $- 14 u + 13 + u^{2}$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $13$ , а сумма — $- 14$ .

$- 13, - 1$

Этап 4.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 13) (u - 1) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 13 = 0$

$u - 1 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $u - 13$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $u - 13$ к $0$ .

$u - 13 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $13$ к обеим частям уравнения.

$u = 13$

Этап 4.6

Приравняем $u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 13) (u - 1) = 0$ верно.

$u = 13, 1$

Этап 4.8

Подставим $\cos (θ)$ вместо $u$ .

$\cos (θ) = 13, 1$

Этап 4.9

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $θ$ .

$\cos (θ) = 13$

$\cos (θ) = 1$

Этап 4.10

Решим относительно $θ$ в $\cos (θ) = 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Множество значений косинуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $13$ не попадает в это множество, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 4.11

Решим относительно $θ$ в $\cos (θ) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (1)$

Этап 4.11.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.2.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$θ = 0$

Этап 4.11.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 2 π - 0$

Этап 4.11.4

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$θ = 2 π$

Этап 4.11.5

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.11.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.11.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.11.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.11.6

Период функции $\cos (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.12

Перечислим все решения.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.13

Объединим ответы.

$θ = 2 π n$ , для любого целого $n$