Тригонометрия Примеры

$\sin (\frac{x}{2}) = 1 - \sin (\frac{x}{2})$

Этап 1

Перенесем все члены с $\sin (\frac{x}{2})$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $\sin (\frac{x}{2})$ к обеим частям уравнения.

$\sin (\frac{x}{2}) + \sin (\frac{x}{2}) = 1$

Этап 1.2

Добавим $\sin (\frac{x}{2})$ и $\sin (\frac{x}{2})$ .

$2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$

Этап 2

Разделим каждый член $2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $\sin (\frac{x}{2})$ на $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$

Этап 3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6}$

Этап 5

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

Этап 6

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

Этап 6.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 \frac{π}{6}$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$x = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Этап 6.2.1.2

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Этап 6.2.1.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{3}$

Этап 7

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{6}$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

Этап 8.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

Этап 8.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 (π - \frac{π}{6})$

Этап 8.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Упростим $2 (π - \frac{π}{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6})$

Этап 8.2.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6})$

Этап 8.2.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 8.2.2.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 (3)}$

Этап 8.2.2.1.2.3.2

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 \cdot 3}$

Этап 8.2.2.1.2.3.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{3}$

Этап 8.2.2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{3}$

Этап 8.2.2.1.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 9

Найдем период $\sin (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 9.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 9.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Этап 9.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 2$

Этап 9.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4 π$

Этап 10

Период функции $\sin (\frac{x}{2})$ равен $4 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $4 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{5 π}{3} + 4 π n$ , для любого целого $n$