Тригонометрия Примеры

$\frac{\cos (θ) - \sin (θ)}{\cos (θ)} - \frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 1

Чтобы записать $\frac{\cos (θ) - \sin (θ)}{\cos (θ)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ) - \sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 2

Чтобы записать $- \frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ) - \sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\cos (θ) \sin (θ)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{\cos (θ) - \sin (θ)}{\cos (θ)}$ на $\frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{(\cos (θ) - \sin (θ)) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} - \frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ)}$ на $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{(\cos (θ) - \sin (θ)) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} - \frac{(\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)}$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $\sin (θ) \cos (θ)$ .

$\frac{(\cos (θ) - \sin (θ)) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} - \frac{(\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(\cos (θ) - \sin (θ)) \sin (θ) - (\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) \sin (θ) - (\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 5.2

Умножим $- \sin (θ) \sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin (θ)) - (\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 5.2.2

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)) - (\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 5.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1} - (\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 5.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - (\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) + (- \cos (θ) - \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - \cos (θ) \cos (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 5.5

Умножим $- \cos (θ) \cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - (\cos^{1} (θ) \cos (θ)) - \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 5.5.2

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)) - \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 5.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - {\cos (θ)}^{1 + 1} - \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 5.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 5.6

Изменим порядок множителей в $- \sin (θ) \cos (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 5.7

Вычтем $\cos (θ) \sin (θ)$ из $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$\frac{0 - \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 5.8

Вычтем $\sin^{2} (θ)$ из $0$ .

$\frac{- \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 5.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin^{2} (θ)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (θ)) - \cos^{2} (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 5.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cos^{2} (θ)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (θ)) - (\cos^{2} (θ))}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 5.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sin^{2} (θ)) - (\cos^{2} (θ))$ .

$\frac{- (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ))}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 5.12

Применим формулу Пифагора.

$\frac{- 1 \cdot 1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 5.13

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 6

Разделим дроби.

$\frac{- 1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

Этап 7

Переведем $\frac{1}{\cos (θ)}$ в $\sec (θ)$ .

$\frac{- 1}{\sin (θ)} \sec (θ)$

Этап 8

Разделим дроби.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} \sec (θ)$

Этап 9

Переведем $\frac{1}{\sin (θ)}$ в $\csc (θ)$ .

$\frac{- 1}{1} \csc (θ) \sec (θ)$

Этап 10

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- \csc (θ) \sec (θ)$