Тригонометрия Примеры

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 7 \\ c = \\ a = & 9 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = & 90 ° \end{matrix} \end{matrix}$

Этап 1

Используем теорему косинусов, чтобы найти неизвестную сторону треугольника по двум другим сторонам и прилежащему углу.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Этап 2

Решим уравнение.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Этап 3

Подставим известные значения в уравнение.

$c = \sqrt{{(9)}^{2} + {(7)}^{2} - 2 \cdot 9 \cdot 7 \cos (90 °)}$

Этап 4

Упростим результаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$c = \sqrt{81 + {(7)}^{2} - 2 \cdot 9 \cdot (7 \cos (90 °))}$

Этап 4.2

Возведем $7$ в степень $2$ .

$c = \sqrt{81 + 49 - 2 \cdot 9 \cdot (7 \cos (90 °))}$

Этап 4.3

Умножим $- 2 \cdot 9 \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 2$ на $9$ .

$c = \sqrt{81 + 49 - 18 \cdot (7 \cos (90 °))}$

Этап 4.3.2

Умножим $- 18$ на $7$ .

$c = \sqrt{81 + 49 - 126 \cos (90 °)}$

Этап 4.4

Точное значение $\cos (90 °)$ : $0$ .

$c = \sqrt{81 + 49 - 126 \cdot 0}$

Этап 4.5

Умножим $- 126$ на $0$ .

$c = \sqrt{81 + 49 + 0}$

Этап 4.6

Добавим $81 + 49$ и $0$ .

$c = \sqrt{81 + 49}$

Этап 4.7

Добавим $81$ и $49$ .

$c = \sqrt{130}$

Этап 5

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 6

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $A$ .

$\frac{\sin (A)}{9} = \frac{\sin (90 °)}{\sqrt{130}}$

Этап 7

Решим уравнение относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим обе части уравнения на $9$ .

$9 \frac{\sin (A)}{9} = 9 \frac{\sin (90 °)}{\sqrt{130}}$

Этап 7.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$9 \frac{\sin (A)}{9} = 9 \frac{\sin (90 °)}{\sqrt{130}}$

Этап 7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = 9 \frac{\sin (90 °)}{\sqrt{130}}$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим $9 \frac{\sin (90 °)}{\sqrt{130}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Точное значение $\sin (90 °)$ : $1$ .

$\sin (A) = 9 \frac{1}{\sqrt{130}}$

Этап 7.2.2.1.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{130}}$ на $\frac{\sqrt{130}}{\sqrt{130}}$ .

$\sin (A) = 9 (\frac{1}{\sqrt{130}} \cdot \frac{\sqrt{130}}{\sqrt{130}})$

Этап 7.2.2.1.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{130}}$ на $\frac{\sqrt{130}}{\sqrt{130}}$ .

$\sin (A) = 9 \frac{\sqrt{130}}{\sqrt{130} \sqrt{130}}$

Этап 7.2.2.1.3.2

Возведем $\sqrt{130}$ в степень $1$ .

$\sin (A) = 9 \frac{\sqrt{130}}{{\sqrt{130}}^{1} \sqrt{130}}$

Этап 7.2.2.1.3.3

Возведем $\sqrt{130}$ в степень $1$ .

$\sin (A) = 9 \frac{\sqrt{130}}{{\sqrt{130}}^{1} {\sqrt{130}}^{1}}$

Этап 7.2.2.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (A) = 9 \frac{\sqrt{130}}{{\sqrt{130}}^{1 + 1}}$

Этап 7.2.2.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (A) = 9 \frac{\sqrt{130}}{{\sqrt{130}}^{2}}$

Этап 7.2.2.1.3.6

Перепишем ${\sqrt{130}}^{2}$ в виде $130$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{130}$ в виде $130^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (A) = 9 \frac{\sqrt{130}}{{(130^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.2.2.1.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (A) = 9 \frac{\sqrt{130}}{130^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.2.2.1.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (A) = 9 \frac{\sqrt{130}}{130^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.2.2.1.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (A) = 9 \frac{\sqrt{130}}{130^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.2.2.1.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = 9 \frac{\sqrt{130}}{130^{1}}$

Этап 7.2.2.1.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (A) = 9 \frac{\sqrt{130}}{130}$

Этап 7.2.2.1.4

Объединим $9$ и $\frac{\sqrt{130}}{130}$ .

$\sin (A) = \frac{9 \sqrt{130}}{130}$

Этап 7.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $A$ из синуса.

$A = \arcsin (\frac{9 \sqrt{130}}{130})$

Этап 7.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{9 \sqrt{130}}{130})$ .

$A = 52.12501634$

Этап 7.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$A = 180 - 52.12501634$

Этап 7.6

Вычтем $52.12501634$ из $180$ .

$A = 127.87498365$

Этап 7.7

Решение уравнения $A = 52.12501634$ .

$A = 52.12501634, 127.87498365$

Этап 7.8

Исключим недопустимый угол.

$A = 52.12501634$

Этап 8

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$52.12501634 + 90 ° + B = 180$

Этап 9

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $52.12501634$ и $90 °$ .

$142.12501634 + B = 180$

Этап 9.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $142.12501634$ из обеих частей уравнения.

$B = 180 - 142.12501634$

Этап 9.2.2

Вычтем $142.12501634$ из $180$ .

$B = 37.87498365$

Этап 10

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 52.12501634$

$B = 37.87498365$

$C = 90 °$

$a = 9$

$b = 7$

$c = \sqrt{130}$