Тригонометрия Примеры

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 7 \\ c = & 5 \\ a = & 3 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Этап 1

Используем теорему косинусов, чтобы найти неизвестную сторону треугольника по двум другим сторонам и прилежащему углу.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Этап 2

Решим уравнение.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Этап 3

Подставим известные значения в уравнение.

$A = \arccos (\frac{{(7)}^{2} + {(5)}^{2} - {(3)}^{2}}{2 (7) (5)})$

Этап 4

Упростим результаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$A = \arccos (\frac{49 + 5^{2} - 3^{2}}{2 (7) \cdot 5})$

Этап 4.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$A = \arccos (\frac{49 + 25 - 3^{2}}{2 (7) \cdot 5})$

Этап 4.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$A = \arccos (\frac{49 + 25 - 1 \cdot 9}{2 (7) \cdot 5})$

Этап 4.1.4

Умножим $- 1$ на $9$ .

$A = \arccos (\frac{49 + 25 - 9}{2 (7) \cdot 5})$

Этап 4.1.5

Добавим $49$ и $25$ .

$A = \arccos (\frac{74 - 9}{2 (7) \cdot 5})$

Этап 4.1.6

Вычтем $9$ из $74$ .

$A = \arccos (\frac{65}{2 (7) \cdot 5})$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $2$ на $7$ .

$A = \arccos (\frac{65}{14 \cdot 5})$

Этап 4.2.2

Умножим $14$ на $5$ .

$A = \arccos (\frac{65}{70})$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $65$ и $70$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $5$ из $65$ .

$A = \arccos (\frac{5 (13)}{70})$

Этап 4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $70$ .

$A = \arccos (\frac{5 \cdot 13}{5 \cdot 14})$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$A = \arccos (\frac{5 \cdot 13}{5 \cdot 14})$

Этап 4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$A = \arccos (\frac{13}{14})$

Этап 4.4

Найдем значение $\arccos (\frac{13}{14})$ .

$A = 21.78678929$

Этап 5

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Этап 6

Решим уравнение.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Этап 7

Подставим известные значения в уравнение.

$B = \arccos (\frac{{(3)}^{2} + {(5)}^{2} - {(7)}^{2}}{2 (3) (5)})$

Этап 8

Упростим результаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$B = \arccos (\frac{9 + 5^{2} - 7^{2}}{2 (3) \cdot 5})$

Этап 8.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$B = \arccos (\frac{9 + 25 - 7^{2}}{2 (3) \cdot 5})$

Этап 8.1.3

Возведем $7$ в степень $2$ .

$B = \arccos (\frac{9 + 25 - 1 \cdot 49}{2 (3) \cdot 5})$

Этап 8.1.4

Умножим $- 1$ на $49$ .

$B = \arccos (\frac{9 + 25 - 49}{2 (3) \cdot 5})$

Этап 8.1.5

Добавим $9$ и $25$ .

$B = \arccos (\frac{34 - 49}{2 (3) \cdot 5})$

Этап 8.1.6

Вычтем $49$ из $34$ .

$B = \arccos (\frac{- 15}{2 (3) \cdot 5})$

Этап 8.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $2$ на $3$ .

$B = \arccos (\frac{- 15}{6 \cdot 5})$

Этап 8.2.2

Умножим $6$ на $5$ .

$B = \arccos (\frac{- 15}{30})$

Этап 8.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Сократим общий множитель $- 15$ и $30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Вынесем множитель $15$ из $- 15$ .

$B = \arccos (\frac{15 (- 1)}{30})$

Этап 8.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Вынесем множитель $15$ из $30$ .

$B = \arccos (\frac{15 \cdot - 1}{15 \cdot 2})$

Этап 8.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$B = \arccos (\frac{15 \cdot - 1}{15 \cdot 2})$

Этап 8.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$B = \arccos (\frac{- 1}{2})$

Этап 8.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$B = \arccos (- \frac{1}{2})$

Этап 8.4

Точное значение $\arccos (- \frac{1}{2})$ : $120$ .

$B = 120$

Этап 9

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$21.78678929 + C + 120 = 180$

Этап 10

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Добавим $21.78678929$ и $120$ .

$C + 141.78678929 = 180$

Этап 10.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $141.78678929$ из обеих частей уравнения.

$C = 180 - 141.78678929$

Этап 10.2.2

Вычтем $141.78678929$ из $180$ .

$C = 38.2132107$

Этап 11

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 21.78678929$

$B = 120$

$C = 38.2132107$

$a = 3$

$b = 7$

$c = 5$