Тригонометрия Примеры



$\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 12 \\ c = \\ a = & 10 \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 48 \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Этап 1

Теорема синусов дает неоднозначный результат. Это указывает на существование

$2$ углов, при которых уравнение имеет корректное решение. Для первого треугольника используем первое возможное значение угла.

Найдем решение для первого треугольника.

Этап 2

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 3

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти

$B$ .

$\frac{\sin (B)}{12} = \frac{\sin (48)}{10}$

Этап 4

Решим уравнение относительно

$B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим обе части уравнения на

$12$ .

$12 \frac{\sin (B)}{12} = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

Этап 4.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель

$12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$12 \frac{\sin (B)}{12} = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

Этап 4.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (B) = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим

$12 \frac{\sin (48)}{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Вынесем множитель

$2$ из

$12$ .

$\sin (B) = 2 (6) \frac{\sin (48)}{10}$

Этап 4.2.2.1.1.2

Вынесем множитель

$2$ из

$10$ .

$\sin (B) = 2 \cdot 6 \frac{\sin (48)}{2 \cdot 5}$

Этап 4.2.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\sin (B) = 2 \cdot 6 \frac{\sin (48)}{2 \cdot 5}$

Этап 4.2.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$\sin (B) = 6 \frac{\sin (48)}{5}$

Этап 4.2.2.1.2

Объединим

$6$ и

$\frac{\sin (48)}{5}$ .

$\sin (B) = \frac{6 \sin (48)}{5}$

Этап 4.2.2.1.3

Найдем значение

$\sin (48)$ .

$\sin (B) = \frac{6 \cdot 0.74314482}{5}$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим

$6$ на

$0.74314482$ .

$\sin (B) = \frac{4.45886895}{5}$

Этап 4.2.2.1.5

Разделим

$4.45886895$ на

$5$ .

$\sin (B) = 0.89177379$

Этап 4.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь

$B$ из синуса.

$B = \arcsin (0.89177379)$

Этап 4.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Найдем значение

$\arcsin (0.89177379)$ .

$B = 63.09699387$

Этап 4.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из

$180$ и найдем решение во втором квадранте.

$B = 180 - 63.09699387$

Этап 4.6

Вычтем

$63.09699387$ из

$180$ .

$B = 116.90300612$

Этап 4.7

Решение уравнения

$B = 63.09699387$ .

$B = 63.09699387, 116.90300612$

Этап 5

Сумма всех углов треугольника составляет

$180$ градусов.

$48 + C + 63.09699387 = 180$

Этап 6

Решим уравнение относительно

$C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим

$48$ и

$63.09699387$ .

$C + 111.09699387 = 180$

Этап 6.2

Перенесем все члены без

$C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем

$111.09699387$ из обеих частей уравнения.

$C = 180 - 111.09699387$

Этап 6.2.2

Вычтем

$111.09699387$ из

$180$ .

$C = 68.90300612$

Этап 7

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 8

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти

$c$ .

$\frac{\sin (68.90300612)}{c} = \frac{\sin (48)}{10}$

Этап 9

Решим уравнение относительно

$c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Найдем значение

$\sin (68.90300612)$ .

$\frac{0.93297242}{c} = \frac{\sin (48)}{10}$

Этап 9.1.2

Найдем значение

$\sin (48)$ .

$\frac{0.93297242}{c} = \frac{0.74314482}{10}$

Этап 9.1.3

Разделим

$0.74314482$ на

$10$ .

$\frac{0.93297242}{c} = 0.07431448$

Этап 9.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$c, 1$

Этап 9.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$c$

Этап 9.3

Каждый член в

$\frac{0.93297242}{c} = 0.07431448$ умножим на

$c$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим каждый член

$\frac{0.93297242}{c} = 0.07431448$ на

$c$ .

$\frac{0.93297242}{c} c = 0.07431448 c$

Этап 9.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Сократим общий множитель

$c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.93297242}{c} c = 0.07431448 c$

Этап 9.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$0.93297242 = 0.07431448 c$

Этап 9.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Перепишем уравнение в виде

$0.07431448 c = 0.93297242$ .

$0.07431448 c = 0.93297242$

Этап 9.4.2

Разделим каждый член

$0.07431448 c = 0.93297242$ на

$0.07431448$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Разделим каждый член

$0.07431448 c = 0.93297242$ на

$0.07431448$ .

$\frac{0.07431448 c}{0.07431448} = \frac{0.93297242}{0.07431448}$

Этап 9.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.2.1

Сократим общий множитель

$0.07431448$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.07431448 c}{0.07431448} = \frac{0.93297242}{0.07431448}$

Этап 9.4.2.2.1.2

Разделим

$c$ на

$1$ .

$c = \frac{0.93297242}{0.07431448}$

Этап 9.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.3.1

Разделим

$0.93297242$ на

$0.07431448$ .

$c = 12.55438226$

Этап 10

Для второго треугольника воспользуемся вторым возможным значением угла.

Найдем решение для второго треугольника.

Этап 11

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 12

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти

$B$ .

$\frac{\sin (B)}{12} = \frac{\sin (48)}{10}$

Этап 13

Решим уравнение относительно

$B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим обе части уравнения на

$12$ .

$12 \frac{\sin (B)}{12} = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

Этап 13.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Сократим общий множитель

$12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$12 \frac{\sin (B)}{12} = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

Этап 13.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (B) = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

Этап 13.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Упростим

$12 \frac{\sin (48)}{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1.1

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1.1.1

Вынесем множитель

$2$ из

$12$ .

$\sin (B) = 2 (6) \frac{\sin (48)}{10}$

Этап 13.2.2.1.1.2

Вынесем множитель

$2$ из

$10$ .

$\sin (B) = 2 \cdot 6 \frac{\sin (48)}{2 \cdot 5}$

Этап 13.2.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\sin (B) = 2 \cdot 6 \frac{\sin (48)}{2 \cdot 5}$

Этап 13.2.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$\sin (B) = 6 \frac{\sin (48)}{5}$

Этап 13.2.2.1.2

Объединим

$6$ и

$\frac{\sin (48)}{5}$ .

$\sin (B) = \frac{6 \sin (48)}{5}$

Этап 13.2.2.1.3

Найдем значение

$\sin (48)$ .

$\sin (B) = \frac{6 \cdot 0.74314482}{5}$

Этап 13.2.2.1.4

Умножим

$6$ на

$0.74314482$ .

$\sin (B) = \frac{4.45886895}{5}$

Этап 13.2.2.1.5

Разделим

$4.45886895$ на

$5$ .

$\sin (B) = 0.89177379$

Этап 13.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь

$B$ из синуса.

$B = \arcsin (0.89177379)$

Этап 13.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Найдем значение

$\arcsin (0.89177379)$ .

$B = 63.09699387$

Этап 13.5

$180$ и найдем решение во втором квадранте.

$B = 180 - 63.09699387$

Этап 13.6

Вычтем

$63.09699387$ из

$180$ .

$B = 116.90300612$

Этап 13.7

Решение уравнения

$B = 63.09699387$ .

$B = 63.09699387, 116.90300612$

Этап 14

Сумма всех углов треугольника составляет

$180$ градусов.

$48 + C + 116.90300612 = 180$

Этап 15

Решим уравнение относительно

$C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Добавим

$48$ и

$116.90300612$ .

$C + 164.90300612 = 180$

Этап 15.2

Перенесем все члены без

$C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Вычтем

$164.90300612$ из обеих частей уравнения.

$C = 180 - 164.90300612$

Этап 15.2.2

Вычтем

$164.90300612$ из

$180$ .

$C = 15.09699387$

Этап 16

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 17

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти

$c$ .

$\frac{\sin (15.09699387)}{c} = \frac{\sin (48)}{10}$

Этап 18

Решим уравнение относительно

$c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Найдем значение

$\sin (15.09699387)$ .

$\frac{0.26045385}{c} = \frac{\sin (48)}{10}$

Этап 18.1.2

Найдем значение

$\sin (48)$ .

$\frac{0.26045385}{c} = \frac{0.74314482}{10}$

Этап 18.1.3

Разделим

$0.74314482$ на

$10$ .

$\frac{0.26045385}{c} = 0.07431448$

Этап 18.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$c, 1$

Этап 18.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$c$

Этап 18.3

Каждый член в

$\frac{0.26045385}{c} = 0.07431448$ умножим на

$c$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.1

Умножим каждый член

$\frac{0.26045385}{c} = 0.07431448$ на

$c$ .

$\frac{0.26045385}{c} c = 0.07431448 c$

Этап 18.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.2.1

Сократим общий множитель

$c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.26045385}{c} c = 0.07431448 c$

Этап 18.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$0.26045385 = 0.07431448 c$

Этап 18.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.1

Перепишем уравнение в виде

$0.07431448 c = 0.26045385$ .

$0.07431448 c = 0.26045385$

Этап 18.4.2

Разделим каждый член

$0.07431448 c = 0.26045385$ на

$0.07431448$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.2.1

Разделим каждый член

$0.07431448 c = 0.26045385$ на

$0.07431448$ .

$\frac{0.07431448 c}{0.07431448} = \frac{0.26045385}{0.07431448}$

Этап 18.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.2.2.1

Сократим общий множитель

$0.07431448$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.07431448 c}{0.07431448} = \frac{0.26045385}{0.07431448}$

Этап 18.4.2.2.1.2

Разделим

$c$ на

$1$ .

$c = \frac{0.26045385}{0.07431448}$

Этап 18.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.2.3.1

Разделим

$0.26045385$ на

$0.07431448$ .

$c = 3.50475229$

Этап 19

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

Комбинация первого треугольника:

$A = 48$

$B = 63.09699387$

$C = 68.90300612$

$a = 10$

$b = 12$

$c = 12.55438226$

Комбинация второго треугольника:

$A = 48$

$B = 116.90300612$

$C = 15.09699387$

$a = 10$

$b = 12$

$c = 3.50475229$