Тригонометрия Примеры

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 4 \\ c = \\ a = & 3 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = & 90 ° \end{matrix} \end{matrix}$

Этап 1

Используем теорему косинусов, чтобы найти неизвестную сторону треугольника по двум другим сторонам и прилежащему углу.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Этап 2

Решим уравнение.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Этап 3

Подставим известные значения в уравнение.

$c = \sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cos (90 °)}$

Этап 4

Упростим результаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$c = \sqrt{9 + {(4)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot (4 \cos (90 °))}$

Этап 4.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 2 \cdot 3 \cdot (4 \cos (90 °))}$

Этап 4.3

Умножим $- 2 \cdot 3 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 6 \cdot (4 \cos (90 °))}$

Этап 4.3.2

Умножим $- 6$ на $4$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 24 \cos (90 °)}$

Этап 4.4

Точное значение $\cos (90 °)$ : $0$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 24 \cdot 0}$

Этап 4.5

Умножим $- 24$ на $0$ .

$c = \sqrt{9 + 16 + 0}$

Этап 4.6

Добавим $9 + 16$ и $0$ .

$c = \sqrt{9 + 16}$

Этап 4.7

Добавим $9$ и $16$ .

$c = \sqrt{25}$

Этап 4.8

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$c = \sqrt{5^{2}}$

Этап 4.9

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$c = 5$

Этап 5

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 6

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $A$ .

$\frac{\sin (A)}{3} = \frac{\sin (90 °)}{5}$

Этап 7

Решим уравнение относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 \frac{\sin (A)}{3} = 3 \frac{\sin (90 °)}{5}$

Этап 7.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{\sin (A)}{3} = 3 \frac{\sin (90 °)}{5}$

Этап 7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = 3 \frac{\sin (90 °)}{5}$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим $3 \frac{\sin (90 °)}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Точное значение $\sin (90 °)$ : $1$ .

$\sin (A) = 3 (\frac{1}{5})$

Этап 7.2.2.1.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{5}$ .

$\sin (A) = \frac{3}{5}$

Этап 7.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $A$ из синуса.

$A = \arcsin (\frac{3}{5})$

Этап 7.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{3}{5})$ .

$A = 36.86989764$

Этап 7.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$A = 180 - 36.86989764$

Этап 7.6

Вычтем $36.86989764$ из $180$ .

$A = 143.13010235$

Этап 7.7

Решение уравнения $A = 36.86989764$ .

$A = 36.86989764, 143.13010235$

Этап 7.8

Исключим недопустимый угол.

$A = 36.86989764$

Этап 8

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$36.86989764 + 90 ° + B = 180$

Этап 9

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $36.86989764$ и $90 °$ .

$126.86989764 + B = 180$

Этап 9.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $126.86989764$ из обеих частей уравнения.

$B = 180 - 126.86989764$

Этап 9.2.2

Вычтем $126.86989764$ из $180$ .

$B = 53.13010235$

Этап 10

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 36.86989764$

$B = 53.13010235$

$C = 90 °$

$a = 3$

$b = 4$

$c = 5$