Тригонометрия Примеры

$z = 4 \sqrt{3} - 4 i$

Этап 1

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 2

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 3

Подставим фактические значения $a = 4 \sqrt{3}$ и $b = - 4$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(4 \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 4

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + {(4 \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 4.1.2

Применим правило умножения к $4 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{16 + 4^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 4.1.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 4.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.2.4.2

Перепишем это выражение.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

Этап 4.2.5

Найдем экспоненту.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $16$ на $3$ .

$| z | = \sqrt{16 + 48}$

Этап 4.3.2

Добавим $16$ и $48$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Этап 4.3.3

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Этап 4.3.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = 8$

Этап 5

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{- 4}{4 \sqrt{3}})$

Этап 6

Поскольку обратный тангенс $\frac{- 4}{4 \sqrt{3}}$ дает угол в четвертом квадранте, значение угла равно $- \frac{π}{6}$ .

$θ = - \frac{π}{6}$

Этап 7

Подставим значения $θ = - \frac{π}{6}$ и $| z | = 8$ .

$8 (\cos (- \frac{π}{6}) + i \sin (- \frac{π}{6}))$

Этап 8

Заменим правую часть уравнения на тригонометрическую формулу.

$z = 8 (\cos (- \frac{π}{6}) + i \sin (- \frac{π}{6}))$