Тригонометрия Примеры

$\frac{x^{2}}{121} + y^{2} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{121} + y^{2} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 11$

$b = 1$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 4.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(11)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Возведем $11$ в степень $2$ .

$\sqrt{121 - {(1)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{121 - 1 \cdot 1}$

Этап 4.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\sqrt{121 - 1}$

Этап 4.3.4

Вычтем $1$ из $121$ .

$\sqrt{120}$

Этап 4.3.5

Перепишем $120$ в виде $2^{2} \cdot 30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Вынесем множитель $4$ из $120$ .

$\sqrt{4 (30)}$

Этап 4.3.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 30}$

Этап 4.3.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 \sqrt{30}$

Этап 5

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 5.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0 + 2 \sqrt{30}, 0)$

Этап 5.3

Упростим.

$(2 \sqrt{30}, 0)$

Этап 5.4

Второй фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 5.5

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0 - (2 \sqrt{30}), 0)$

Этап 5.6

Упростим.

$(- 2 \sqrt{30}, 0)$

Этап 5.7

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{30}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{30}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{30}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{30}, 0)$

Этап 6