Тригонометрия Примеры

$y = - \frac{1}{6} x^{2} + 7 x - 80$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{6}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{6} + 7 x - 80$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $- \frac{x^{2}}{6} + 7 x - 80$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - \frac{1}{6}$

$b = 7$

$c = - 80$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{7}{2 (- \frac{1}{6})}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$d = \frac{7}{- 2 (\frac{1}{6})}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{6}$ .

$d = \frac{7}{\frac{- 2}{6}}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$d = \frac{7}{\frac{2 (- 1)}{6}}$

Этап 1.2.3.2.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$d = \frac{7}{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}}$

Этап 1.2.3.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{7}{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}}$

Этап 1.2.3.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{7}{\frac{- 1}{3}}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = \frac{7}{- \frac{1}{3}}$

Этап 1.2.3.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = 7 (- 1 \cdot 3)$

Этап 1.2.3.2.4

Умножим $7 (- 1 \cdot 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.4.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$d = 7 \cdot - 3$

Этап 1.2.3.2.4.2

Умножим $7$ на $- 3$ .

$d = - 21$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 80 - \frac{7^{2}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$e = - 80 - \frac{49}{4 (- \frac{1}{6})}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = - 80 - \frac{49}{- 4 (\frac{1}{6})}$

Этап 1.2.4.2.1.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{6}$ .

$e = - 80 - \frac{49}{\frac{- 4}{6}}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.3.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$e = - 80 - \frac{49}{\frac{2 (- 2)}{6}}$

Этап 1.2.4.2.1.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$e = - 80 - \frac{49}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

Этап 1.2.4.2.1.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$e = - 80 - \frac{49}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

Этап 1.2.4.2.1.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$e = - 80 - \frac{49}{\frac{- 2}{3}}$

Этап 1.2.4.2.1.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = - 80 - \frac{49}{- \frac{2}{3}}$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e = - 80 - (49 (- \frac{3}{2}))$

Этап 1.2.4.2.1.5

Умножим $49 (- \frac{3}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $49$ .

$e = - 80 - (- 49 (\frac{3}{2}))$

Этап 1.2.4.2.1.5.2

Объединим $- 49$ и $\frac{3}{2}$ .

$e = - 80 - \frac{- 49 \cdot 3}{2}$

Этап 1.2.4.2.1.5.3

Умножим $- 49$ на $3$ .

$e = - 80 - \frac{- 147}{2}$

Этап 1.2.4.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = - 80 - - \frac{147}{2}$

Этап 1.2.4.2.1.7

Умножим $- - \frac{147}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e = - 80 + 1 (\frac{147}{2})$

Этап 1.2.4.2.1.7.2

Умножим $\frac{147}{2}$ на $1$ .

$e = - 80 + \frac{147}{2}$

Этап 1.2.4.2.2

Чтобы записать $- 80$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$e = - 80 \cdot \frac{2}{2} + \frac{147}{2}$

Этап 1.2.4.2.3

Объединим $- 80$ и $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{- 80 \cdot 2}{2} + \frac{147}{2}$

Этап 1.2.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{- 80 \cdot 2 + 147}{2}$

Этап 1.2.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.5.1

Умножим $- 80$ на $2$ .

$e = \frac{- 160 + 147}{2}$

Этап 1.2.4.2.5.2

Добавим $- 160$ и $147$ .

$e = \frac{- 13}{2}$

Этап 1.2.4.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = - \frac{13}{2}$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- \frac{1}{6} {(x - 21)}^{2} - \frac{13}{2}$ .

$- \frac{1}{6} {(x - 21)}^{2} - \frac{13}{2}$

Этап 1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} - \frac{13}{2}$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - \frac{1}{6}$

$h = 21$

$k = - \frac{13}{2}$

Этап 3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(21, - \frac{13}{2})$

Этап 4

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 4.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{6})}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{6})}$

Этап 4.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{6})}$

Этап 4.3.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{6}}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $4$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{1}{\frac{2 (2)}{6}}$

Этап 4.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}}$

Этап 4.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}}$

Этап 4.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Этап 4.3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- (1 (\frac{3}{2}))$

Этап 4.3.5

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$- \frac{3}{2}$

Этап 5

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 5.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - 5$

Этап 6