Тригонометрия Примеры

$\sin (2 θ) + \sin (4 θ) = 0$

Этап 1

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим формулу двойного угла для синуса.

$2 \sin (θ) \cos (θ) + \sin (4 θ) = 0$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4 θ$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) + \sin (2 (2 θ)) = 0$

Этап 1.1.3

Применим формулу двойного угла для синуса.

$2 \sin (θ) \cos (θ) + 2 (2 \sin (θ) \cos (θ)) \cos (2 θ) = 0$

Этап 1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) + 4 (\sin (θ) \cos (θ)) \cos (2 θ) = 0$

Этап 1.1.5

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (1 - 2 \sin^{2} (θ)) = 0$

Этап 1.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \sin (θ) \cos (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ)) = 0$

Этап 1.1.7

Умножим $4$ на $1$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ)) = 0$

Этап 1.1.8

Умножим $\sin (θ)$ на $\sin^{2} (θ)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Перенесем $\sin^{2} (θ)$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ) + 4 (\sin^{2} (θ) \sin (θ)) \cos (θ) \cdot - 2 = 0$

Этап 1.1.8.2

Умножим $\sin^{2} (θ)$ на $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.2.1

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ) + 4 (\sin^{2} (θ) \sin (θ)) \cos (θ) \cdot - 2 = 0$

Этап 1.1.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \sin (θ) \cos (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ) + 4 {\sin (θ)}^{2 + 1} \cos (θ) \cdot - 2 = 0$

Этап 1.1.8.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ) + 4 \sin^{3} (θ) \cos (θ) \cdot - 2 = 0$

Этап 1.1.9

Умножим $- 2$ на $4$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ) - 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ) = 0$

Этап 1.2

Добавим $2 \sin (θ) \cos (θ)$ и $4 \sin (θ) \cos (θ)$ .

$6 \sin (θ) \cos (θ) - 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ) = 0$

Этап 2

Вынесем множитель $2 \sin (θ) \cos (θ)$ из $6 \sin (θ) \cos (θ) - 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $2 \sin (θ) \cos (θ)$ из $6 \sin (θ) \cos (θ)$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 3 - 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ) = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $2 \sin (θ) \cos (θ)$ из $- 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 3 + 2 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ)) = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $2 \sin (θ) \cos (θ)$ из $2 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 3 + 2 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ))$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) (3 - 4 \sin^{2} (θ)) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (θ) = 0$

$\cos (θ) = 0$

$3 - 4 \sin^{2} (θ) = 0$

Этап 4

Приравняем $\sin (θ)$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\sin (θ)$ к $0$ .

$\sin (θ) = 0$

Этап 4.2

Решим $\sin (θ) = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (0)$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$θ = 0$

Этап 4.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$θ = π - 0$

Этап 4.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$θ = π$

Этап 4.2.5

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2.6

Период функции $\sin (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $\cos (θ)$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\cos (θ)$ к $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Этап 5.2

Решим $\cos (θ) = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (0)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Этап 5.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 5.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 5.2.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Этап 5.2.5

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.6

Период функции $\cos (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $3 - 4 \sin^{2} (θ)$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $3 - 4 \sin^{2} (θ)$ к $0$ .

$3 - 4 \sin^{2} (θ) = 0$

Этап 6.2

Решим $3 - 4 \sin^{2} (θ) = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- 4 \sin^{2} (θ) = - 3$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $- 4 \sin^{2} (θ) = - 3$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $- 4 \sin^{2} (θ) = - 3$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (θ)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 \sin^{2} (θ)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $\sin^{2} (θ)$ на $1$ .

$\sin^{2} (θ) = \frac{- 3}{- 4}$

Этап 6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\sin^{2} (θ) = \frac{3}{4}$

Этап 6.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (θ) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Этап 6.2.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{3}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Этап 6.2.4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 6.2.4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 6.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 6.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 6.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 6.2.6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $θ$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 6.2.7

Решим относительно $θ$ в $\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 6.2.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.2.1

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Этап 6.2.7.3

$θ = π - \frac{π}{3}$

Этап 6.2.7.4

Упростим $π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$θ = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 6.2.7.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 6.2.7.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 6.2.7.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.4.3.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$θ = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Этап 6.2.7.4.3.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Этап 6.2.7.5

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2.7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.2.7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.2.7.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.2.7.6

Период функции $\sin (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.2.8

Решим относительно $θ$ в $\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 6.2.8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.2.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ : $- \frac{π}{3}$ .

$θ = - \frac{π}{3}$

Этап 6.2.8.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Этап 6.2.8.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Этап 6.2.8.4.2

Результирующий угол $\frac{4 π}{3}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{3} + π$ на полный оборот.

$θ = \frac{4 π}{3}$

Этап 6.2.8.5

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2.8.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.2.8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.2.8.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.2.8.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{3}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Этап 6.2.8.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 6.2.8.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 6.2.8.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 6.2.8.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.6.4.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Этап 6.2.8.6.4.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Этап 6.2.8.6.5

Перечислим новые углы.

$θ = \frac{5 π}{3}$

Этап 6.2.8.7

Период функции $\sin (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.2.9

Перечислим все решения.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.2.10

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.10.1

Объединим $\frac{π}{3} + 2 π n$ и $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ в $\frac{π}{3} + π n$ .

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.2.10.2

Объединим $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ и $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ в $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 \sin (θ) \cos (θ) (3 - 4 \sin^{2} (θ)) = 0$ верно.

$θ = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $2 π n$ и $π + 2 π n$ в $π n$ .

$θ = π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8.2

Объединим $\frac{π}{2} + 2 π n$ и $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ в $\frac{π}{2} + π n$ .

$θ = π n, \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8.3

Объединим $π n$ и $\frac{π}{2} + π n$ в $\frac{π n}{2}$ .

$θ = \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$