Тригонометрия Примеры

Найти все комплексные решения sin(2theta)+sin(4theta)=0
Этап 1
Упростим левую часть уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.1
Применим формулу двойного угла для синуса.
Этап 1.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 1.1.3
Применим формулу двойного угла для синуса.
Этап 1.1.4
Умножим на .
Этап 1.1.5
Используем формулу двойного угла для преобразования в .
Этап 1.1.6
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.7
Умножим на .
Этап 1.1.8
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.8.1
Перенесем .
Этап 1.1.8.2
Умножим на .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.8.2.1
Возведем в степень .
Этап 1.1.8.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.1.8.3
Добавим и .
Этап 1.1.9
Умножим на .
Этап 1.2
Добавим и .
Этап 2
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.2
Вынесем множитель из .
Этап 2.3
Вынесем множитель из .
Этап 3
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 4
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Приравняем к .
Этап 4.2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.1
Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь из синуса.
Этап 4.2.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.2.1
Точное значение : .
Этап 4.2.3
Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из и найдем решение во втором квадранте.
Этап 4.2.4
Вычтем из .
Этап 4.2.5
Найдем период .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.5.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 4.2.5.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 4.2.5.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 4.2.5.4
Разделим на .
Этап 4.2.6
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
, для любого целого
Этап 5
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Приравняем к .
Этап 5.2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1
Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь из косинуса.
Этап 5.2.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.2.1
Точное значение : .
Этап 5.2.3
Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из и найдем решение в четвертом квадранте.
Этап 5.2.4
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.4.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 5.2.4.2
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.4.2.1
Объединим и .
Этап 5.2.4.2.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 5.2.4.3
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.4.3.1
Умножим на .
Этап 5.2.4.3.2
Вычтем из .
Этап 5.2.5
Найдем период .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.5.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 5.2.5.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 5.2.5.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 5.2.5.4
Разделим на .
Этап 5.2.6
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
, для любого целого
Этап 6
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Приравняем к .
Этап 6.2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 6.2.2
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.2.1
Разделим каждый член на .
Этап 6.2.2.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.2.2.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.2.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 6.2.2.2.1.2
Разделим на .
Этап 6.2.2.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.2.3.1
Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.
Этап 6.2.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Этап 6.2.4
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.4.1
Перепишем в виде .
Этап 6.2.4.2
Упростим знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.4.2.1
Перепишем в виде .
Этап 6.2.4.2.2
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 6.2.5
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.5.1
Сначала с помощью положительного значения найдем первое решение.
Этап 6.2.5.2
Затем, используя отрицательное значение , найдем второе решение.
Этап 6.2.5.3
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 6.2.6
Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для .
Этап 6.2.7
Решим относительно в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.7.1
Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь из синуса.
Этап 6.2.7.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.7.2.1
Точное значение : .
Этап 6.2.7.3
Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из и найдем решение во втором квадранте.
Этап 6.2.7.4
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.7.4.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 6.2.7.4.2
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.7.4.2.1
Объединим и .
Этап 6.2.7.4.2.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 6.2.7.4.3
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.7.4.3.1
Перенесем влево от .
Этап 6.2.7.4.3.2
Вычтем из .
Этап 6.2.7.5
Найдем период .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.7.5.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 6.2.7.5.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 6.2.7.5.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 6.2.7.5.4
Разделим на .
Этап 6.2.7.6
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
Этап 6.2.8
Решим относительно в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.8.1
Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь из синуса.
Этап 6.2.8.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.8.2.1
Точное значение : .
Этап 6.2.8.3
Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к и найдем решение в третьем квадранте.
Этап 6.2.8.4
Упростим выражение, чтобы найти второе решение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.8.4.1
Вычтем из .
Этап 6.2.8.4.2
Результирующий угол является положительным, меньшим и отличается от на полный оборот.
Этап 6.2.8.5
Найдем период .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.8.5.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 6.2.8.5.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 6.2.8.5.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 6.2.8.5.4
Разделим на .
Этап 6.2.8.6
Добавим к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.8.6.1
Добавим к , чтобы найти положительный угол.
Этап 6.2.8.6.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 6.2.8.6.3
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.8.6.3.1
Объединим и .
Этап 6.2.8.6.3.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 6.2.8.6.4
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.8.6.4.1
Умножим на .
Этап 6.2.8.6.4.2
Вычтем из .
Этап 6.2.8.6.5
Перечислим новые углы.
Этап 6.2.8.7
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
Этап 6.2.9
Перечислим все решения.
, для любого целого
Этап 6.2.10
Объединим решения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.10.1
Объединим и в .
, для любого целого
Этап 6.2.10.2
Объединим и в .
, для любого целого
, для любого целого
, для любого целого
, для любого целого
Этап 7
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
, для любого целого
Этап 8
Объединим ответы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.1
Объединим и в .
, для любого целого
Этап 8.2
Объединим и в .
, для любого целого
Этап 8.3
Объединим и в .
, для любого целого
, для любого целого