Тригонометрия Примеры

Найти все комплексные решения 1-sin(theta)=2cos(theta)^2
Этап 1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 2
Заменим на на основе тождества .
Этап 3
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.2
Умножим на .
Этап 3.3
Умножим на .
Этап 4
Вычтем из .
Этап 5
Упорядочим многочлен.
Этап 6
Подставим вместо .
Этап 7
Разложим на множители методом группировки
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1
Для многочлена вида представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно , а сумма — .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 7.1.2
Запишем как плюс
Этап 7.1.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 7.1.4
Умножим на .
Этап 7.2
Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.2.1
Сгруппируем первые два члена и последние два члена.
Этап 7.2.2
Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.
Этап 7.3
Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель .
Этап 8
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 9
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.1
Приравняем к .
Этап 9.2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.2.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 9.2.2
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.2.2.1
Разделим каждый член на .
Этап 9.2.2.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.2.2.2.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.2.2.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 9.2.2.2.1.2
Разделим на .
Этап 9.2.2.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.2.2.3.1
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 10
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1
Приравняем к .
Этап 10.2
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 11
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
Этап 12
Подставим вместо .
Этап 13
Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для .
Этап 14
Решим относительно в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.1
Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь из синуса.
Этап 14.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.2.1
Точное значение : .
Этап 14.3
Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к и найдем решение в третьем квадранте.
Этап 14.4
Упростим выражение, чтобы найти второе решение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.4.1
Вычтем из .
Этап 14.4.2
Результирующий угол является положительным, меньшим и отличается от на полный оборот.
Этап 14.5
Найдем период .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.5.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 14.5.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 14.5.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 14.5.4
Разделим на .
Этап 14.6
Добавим к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.6.1
Добавим к , чтобы найти положительный угол.
Этап 14.6.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 14.6.3
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.6.3.1
Объединим и .
Этап 14.6.3.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 14.6.4
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.6.4.1
Умножим на .
Этап 14.6.4.2
Вычтем из .
Этап 14.6.5
Перечислим новые углы.
Этап 14.7
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
Этап 15
Решим относительно в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.1
Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь из синуса.
Этап 15.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.2.1
Точное значение : .
Этап 15.3
Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из и найдем решение во втором квадранте.
Этап 15.4
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.4.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 15.4.2
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.4.2.1
Объединим и .
Этап 15.4.2.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 15.4.3
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.4.3.1
Перенесем влево от .
Этап 15.4.3.2
Вычтем из .
Этап 15.5
Найдем период .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.5.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 15.5.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 15.5.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 15.5.4
Разделим на .
Этап 15.6
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
Этап 16
Перечислим все решения.
, для любого целого
Этап 17
Объединим ответы.
, для любого целого