Тригонометрия Примеры

${(5 x^{2} - 7 \ln (x))}^{2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 5 x^{2} - 7 \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x^{2} - 7 \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7 \ln (x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7 \ln (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x^{2} - 7 \ln (x)$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7 \ln (x)]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $5 x^{2} - 7 \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 \ln (x)]$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 \ln (x)])$

Этап 2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 \ln (x)])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 \ln (x)])$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $5$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (10 x + \frac{d}{d x} [- 7 \ln (x)])$

Этап 2.5

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 \ln (x)$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (10 x - 7 \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (10 x - 7 \frac{1}{x})$

Этап 4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $- 7$ и $\frac{1}{x}$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (10 x + \frac{- 7}{x})$

Этап 4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (10 x - \frac{7}{x})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 \ln (x))) (10 x - \frac{7}{x})$

Этап 5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $5$ на $2$ .

$(10 x^{2} + 2 (- 7 \ln (x))) (10 x - \frac{7}{x})$

Этап 5.2.2

Умножим $- 7$ на $2$ .

$(10 x^{2} - 14 \ln (x)) (10 x - \frac{7}{x})$

Этап 5.3

Изменим порядок множителей в $(10 x^{2} - 14 \ln (x)) (10 x - \frac{7}{x})$ .

$(10 x - \frac{7}{x}) (10 x^{2} - 14 \ln (x))$