Тригонометрия Примеры

${(\sqrt{2} + i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

${\sqrt{2}}^{3} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде $\sqrt{2^{3}}$ .

$\sqrt{2^{3}} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\sqrt{8} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.3

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\sqrt{4 (2)} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.5

Умножим ${\sqrt{2}}^{2}$ на $\sqrt{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Перенесем $\sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 3 (\sqrt{2} {\sqrt{2}}^{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.5.2

Умножим $\sqrt{2}$ на ${\sqrt{2}}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$2 \sqrt{2} + 3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{1 + 2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{3} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде $\sqrt{2^{3}}$ .

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2^{3}} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.7

Возведем $2$ в степень $3$ .

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{8} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.8

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{4 (2)} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 \sqrt{2} + 3 (2 \sqrt{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.10

Умножим $2$ на $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.11

Применим правило умножения к $i \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2} (i^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.12

Умножим $\sqrt{2}$ на ${\sqrt{2}}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1

Перенесем ${\sqrt{2}}^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 ({\sqrt{2}}^{2} \sqrt{2}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.12.2

Умножим ${\sqrt{2}}^{2}$ на $\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.2.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 ({\sqrt{2}}^{2} {\sqrt{2}}^{1}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.12.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 {\sqrt{2}}^{2 + 1} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.12.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 {\sqrt{2}}^{3} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.13

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде $\sqrt{2^{3}}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2^{3}} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.14

Возведем $2$ в степень $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{8} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.15

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.15.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{4 (2)} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.15.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.16

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 (2 \sqrt{2}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.17

Умножим $2$ на $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 6 \sqrt{2} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.18

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 6 \sqrt{2} \cdot - 1 + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.19

Умножим $- 1$ на $6$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.20

Применим правило умножения к $i \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + i^{3} {\sqrt{2}}^{3}$

Этап 2.1.21

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + i^{2} \cdot i {\sqrt{2}}^{3}$

Этап 2.1.22

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - 1 \cdot i {\sqrt{2}}^{3}$

Этап 2.1.23

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i {\sqrt{2}}^{3}$

Этап 2.1.24

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде $\sqrt{2^{3}}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{2^{3}}$

Этап 2.1.25

Возведем $2$ в степень $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{8}$

Этап 2.1.26

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.26.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{4 (2)}$

Этап 2.1.26.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Этап 2.1.27

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i (2 \sqrt{2})$

Этап 2.1.28

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Этап 2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $6 \sqrt{2}$ из $2 \sqrt{2}$ .

$6 \sqrt{2} i - 4 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Этап 2.2.2

Изменим порядок множителей в $6 \sqrt{2} i$ .

$6 i \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Этап 2.2.3

Вычтем $2 i \sqrt{2}$ из $6 i \sqrt{2}$ .

$4 i \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}$

Этап 2.2.4

Изменим порядок $4 i \sqrt{2}$ и $- 4 \sqrt{2}$ .

$- 4 \sqrt{2} + 4 i \sqrt{2}$