Тригонометрия Примеры

$f (x) = {(x + 7)}^{2} - 1$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(x + 7)}^{2}$ в виде $(x + 7) (x + 7)$ .

$f (x) = (x + 7) (x + 7) - 1$

Этап 1.2

Развернем $(x + 7) (x + 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = x (x + 7) + 7 (x + 7) - 1$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = x \cdot x + x \cdot 7 + 7 (x + 7) - 1$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = x \cdot x + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7 - 1$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x) = x^{2} + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7 - 1$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $7$ влево от $x$ .

$f (x) = x^{2} + 7 \cdot x + 7 x + 7 \cdot 7 - 1$

Этап 1.3.1.3

Умножим $7$ на $7$ .

$f (x) = x^{2} + 7 x + 7 x + 49 - 1$

Этап 1.3.2

Добавим $7 x$ и $7 x$ .

$f (x) = x^{2} + 14 x + 49 - 1$

Этап 2

Вычтем $1$ из $49$ .

$f (x) = x^{2} + 14 x + 48$

Этап 3

Квадратичная функция достигает минимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает положительные значения, то минимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{минимум}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 4

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{14}{2 (1)}$

Этап 4.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{14}{2 (1)}$

Этап 4.3

Упростим $- \frac{14}{2 (1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель $14$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$x = - \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$x = - \frac{2 \cdot 7}{2 (1)}$

Этап 4.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{7}{1}$

Этап 4.3.1.2.4

Разделим $7$ на $1$ .

$x = - 1 \cdot 7$

Этап 4.3.2

Умножим $- 1$ на $7$ .

$x = - 7$

Этап 5

Найдем значение $f (- 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 7$ .

$f (- 7) = {(- 7)}^{2} + 14 (- 7) + 48$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$f (- 7) = 49 + 14 (- 7) + 48$

Этап 5.2.1.2

Умножим $14$ на $- 7$ .

$f (- 7) = 49 - 98 + 48$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $98$ из $49$ .

$f (- 7) = - 49 + 48$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 49$ и $48$ .

$f (- 7) = - 1$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 6

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается минимум.

$(- 7, - 1)$

Этап 7