Тригонометрия Примеры

Найти все комплексные решения sin(x)^2-cos(x)^2=0
Этап 1
Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, , где и .
Этап 2
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 3
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Приравняем к .
Этап 3.2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.1
Разделим каждый член уравнения на .
Этап 3.2.2
Переведем в .
Этап 3.2.3
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.3.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.2.3.2
Перепишем это выражение.
Этап 3.2.4
Разделим дроби.
Этап 3.2.5
Переведем в .
Этап 3.2.6
Разделим на .
Этап 3.2.7
Умножим на .
Этап 3.2.8
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 3.2.9
Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь из тангенса.
Этап 3.2.10
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.10.1
Точное значение : .
Этап 3.2.11
Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из и найдем решение в третьем квадранте.
Этап 3.2.12
Упростим выражение, чтобы найти второе решение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.12.1
Добавим к .
Этап 3.2.12.2
Результирующий угол является положительным и отличается от на полный оборот.
Этап 3.2.13
Найдем период .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.13.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 3.2.13.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 3.2.13.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 3.2.13.4
Разделим на .
Этап 3.2.14
Добавим к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.14.1
Добавим к , чтобы найти положительный угол.
Этап 3.2.14.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 3.2.14.3
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.14.3.1
Объединим и .
Этап 3.2.14.3.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 3.2.14.4
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.14.4.1
Перенесем влево от .
Этап 3.2.14.4.2
Вычтем из .
Этап 3.2.14.5
Перечислим новые углы.
Этап 3.2.15
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
, для любого целого
Этап 4
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Приравняем к .
Этап 4.2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.1
Разделим каждый член уравнения на .
Этап 4.2.2
Переведем в .
Этап 4.2.3
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.3.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.2.3.2
Разделим на .
Этап 4.2.4
Разделим дроби.
Этап 4.2.5
Переведем в .
Этап 4.2.6
Разделим на .
Этап 4.2.7
Умножим на .
Этап 4.2.8
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 4.2.9
Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь из тангенса.
Этап 4.2.10
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.10.1
Точное значение : .
Этап 4.2.11
Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из и найдем решение в четвертом квадранте.
Этап 4.2.12
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.12.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 4.2.12.2
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.12.2.1
Объединим и .
Этап 4.2.12.2.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.2.12.3
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.12.3.1
Перенесем влево от .
Этап 4.2.12.3.2
Добавим и .
Этап 4.2.13
Найдем период .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.13.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 4.2.13.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 4.2.13.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 4.2.13.4
Разделим на .
Этап 4.2.14
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
, для любого целого
Этап 5
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
, для любого целого