Тригонометрия Примеры

$9 = 2 y - y^{2} - 6 x - x^{2}$

Этап 1

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$2 y - y^{2} - 6 x - x^{2} = 9$

Этап 2

Разделим обе части уравнения на $- 1$ .

$- 2 y + y^{2} + 6 x + x^{2} = - 9$

Этап 3

Составим полный квадрат для $- 2 y + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок $- 2 y$ и $y^{2}$ .

$y^{2} - 2 y$

Этап 3.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Этап 3.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 3.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Этап 3.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{1}$

Этап 3.4.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 3.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 3.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Этап 3.5.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Этап 3.5.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Этап 3.5.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e = 0 - 1$

Этап 3.5.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$e = - 1$

Этап 3.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y - 1)}^{2} - 1$ .

${(y - 1)}^{2} - 1$

Этап 4

Подставим ${(y - 1)}^{2} - 1$ вместо $- 2 y + y^{2}$ в уравнение $- 2 y + y^{2} + 6 x + x^{2} = - 9$ .

${(y - 1)}^{2} - 1 + 6 x + x^{2} = - 9$

Этап 5

Перенесем $- 1$ в правую часть уравнения, прибавив $1$ к обеим частям.

${(y - 1)}^{2} + 6 x + x^{2} = - 9 + 1$

Этап 6

Составим полный квадрат для $6 x + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Изменим порядок $6 x$ и $x^{2}$ .

$x^{2} + 6 x$

Этап 6.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 6$

$c = 0$

Этап 6.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 6.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot 1}$

Этап 6.4.2

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Этап 6.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

Этап 6.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Этап 6.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{3}{1}$

Этап 6.4.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$d = 3$

Этап 6.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 6.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Этап 6.5.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Этап 6.5.2.1.3

Разделим $36$ на $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Этап 6.5.2.1.4

Умножим $- 1$ на $9$ .

$e = 0 - 9$

Этап 6.5.2.2

Вычтем $9$ из $0$ .

$e = - 9$

Этап 6.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x + 3)}^{2} - 9$ .

${(x + 3)}^{2} - 9$

Этап 7

Подставим ${(x + 3)}^{2} - 9$ вместо $6 x + x^{2}$ в уравнение $- 2 y + y^{2} + 6 x + x^{2} = - 9$ .

${(y - 1)}^{2} + {(x + 3)}^{2} - 9 = - 9 + 1$

Этап 8

Перенесем $- 9$ в правую часть уравнения, прибавив $9$ к обеим частям.

${(y - 1)}^{2} + {(x + 3)}^{2} = - 9 + 1 + 9$

Этап 9

Упростим $- 9 + 1 + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $- 9$ и $1$ .

${(y - 1)}^{2} + {(x + 3)}^{2} = - 8 + 9$

Этап 9.2

Добавим $- 8$ и $9$ .

${(y - 1)}^{2} + {(x + 3)}^{2} = 1$

Этап 10

Изменим порядок членов.

${(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

Этап 11

Это формула окружности. Используем эту формулу для определения центра и радиуса окружности.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Этап 12

Сопоставим параметры окружности со значениями в стандартной форме. Переменная $r$ представляет радиус окружности, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$r = 1$

$h = - 3$

$k = 1$

Этап 13

Центр окружности находится в точке $(h, k)$ .

Центр: $(- 3, 1)$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа окружности.

Центр: $(- 3, 1)$

Радиус: $1$

Этап 15