Тригонометрия Примеры

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 54 \\ c = & 42 \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = & 52.1 \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Этап 1

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 2

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $C$ .

$\frac{\sin (C)}{42} = \frac{\sin (52.1)}{54}$

Этап 3

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $42$ .

$42 \frac{\sin (C)}{42} = 42 \frac{\sin (52.1)}{54}$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $42$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$42 \frac{\sin (C)}{42} = 42 \frac{\sin (52.1)}{54}$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (C) = 42 \frac{\sin (52.1)}{54}$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $42 \frac{\sin (52.1)}{54}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $6$ из $42$ .

$\sin (C) = 6 (7) \frac{\sin (52.1)}{54}$

Этап 3.2.2.1.1.2

Вынесем множитель $6$ из $54$ .

$\sin (C) = 6 \cdot 7 \frac{\sin (52.1)}{6 \cdot 9}$

Этап 3.2.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\sin (C) = 6 \cdot 7 \frac{\sin (52.1)}{6 \cdot 9}$

Этап 3.2.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$\sin (C) = 7 \frac{\sin (52.1)}{9}$

Этап 3.2.2.1.2

Объединим $7$ и $\frac{\sin (52.1)}{9}$ .

$\sin (C) = \frac{7 \sin (52.1)}{9}$

Этап 3.2.2.1.3

Найдем значение $\sin (52.1)$ .

$\sin (C) = \frac{7 \cdot 0.78908408}{9}$

Этап 3.2.2.1.4

Умножим $7$ на $0.78908408$ .

$\sin (C) = \frac{5.52358859}{9}$

Этап 3.2.2.1.5

Разделим $5.52358859$ на $9$ .

$\sin (C) = 0.61373206$

Этап 3.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $C$ из синуса.

$C = \arcsin (0.61373206)$

Этап 3.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Найдем значение $\arcsin (0.61373206)$ .

$C = 37.85984761$

Этап 3.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$C = 180 - 37.85984761$

Этап 3.6

Вычтем $37.85984761$ из $180$ .

$C = 142.14015238$

Этап 3.7

Решение уравнения $C = 37.85984761$ .

$C = 37.85984761, 142.14015238$

Этап 3.8

Исключим недопустимый угол.

$C = 37.85984761$

Этап 4

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$A + 37.85984761 + 52.1 = 180$

Этап 5

Решим уравнение относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $37.85984761$ и $52.1$ .

$A + 89.95984761 = 180$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $89.95984761$ из обеих частей уравнения.

$A = 180 - 89.95984761$

Этап 5.2.2

Вычтем $89.95984761$ из $180$ .

$A = 90.04015238$

Этап 6

Используем теорему косинусов, чтобы найти неизвестную сторону треугольника по двум другим сторонам и прилежащему углу.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Этап 7

Решим уравнение.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Этап 8

Подставим известные значения в уравнение.

$a = \sqrt{{(54)}^{2} + {(42)}^{2} - 2 \cdot 54 \cdot 42 \cos (90.04015238)}$

Этап 9

Упростим результаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Возведем $54$ в степень $2$ .

$a = \sqrt{2916 + {(42)}^{2} - 2 \cdot 54 \cdot (42 \cos (90.04015238))}$

Этап 9.2

Возведем $42$ в степень $2$ .

$a = \sqrt{2916 + 1764 - 2 \cdot 54 \cdot (42 \cos (90.04015238))}$

Этап 9.3

Умножим $- 2 \cdot 54 \cdot 42$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $- 2$ на $54$ .

$a = \sqrt{2916 + 1764 - 108 \cdot (42 \cos (90.04015238))}$

Этап 9.3.2

Умножим $- 108$ на $42$ .

$a = \sqrt{2916 + 1764 - 4536 \cos (90.04015238)}$

Этап 9.4

Добавим $2916$ и $1764$ .

$a = \sqrt{4680 - 4536 \cos (90.04015238)}$

Этап 10

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 90.04015238$

$B = 52.1$

$C = 37.85984761$

$a = \sqrt{4680 - 4536 \cos (90.04015238)}$

$b = 54$

$c = 42$