Тригонометрия Примеры

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 36 \\ c = \\ a = & 24 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = & 90 ° \end{matrix} \end{matrix}$

Этап 1

Используем теорему косинусов, чтобы найти неизвестную сторону треугольника по двум другим сторонам и прилежащему углу.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Этап 2

Решим уравнение.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Этап 3

Подставим известные значения в уравнение.

$c = \sqrt{{(24)}^{2} + {(36)}^{2} - 2 \cdot 24 \cdot 36 \cos (90 °)}$

Этап 4

Упростим результаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $24$ в степень $2$ .

$c = \sqrt{576 + {(36)}^{2} - 2 \cdot 24 \cdot (36 \cos (90 °))}$

Этап 4.2

Возведем $36$ в степень $2$ .

$c = \sqrt{576 + 1296 - 2 \cdot 24 \cdot (36 \cos (90 °))}$

Этап 4.3

Умножим $- 2 \cdot 24 \cdot 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 2$ на $24$ .

$c = \sqrt{576 + 1296 - 48 \cdot (36 \cos (90 °))}$

Этап 4.3.2

Умножим $- 48$ на $36$ .

$c = \sqrt{576 + 1296 - 1728 \cos (90 °)}$

Этап 4.4

Точное значение $\cos (90 °)$ : $0$ .

$c = \sqrt{576 + 1296 - 1728 \cdot 0}$

Этап 4.5

Умножим $- 1728$ на $0$ .

$c = \sqrt{576 + 1296 + 0}$

Этап 4.6

Добавим $576 + 1296$ и $0$ .

$c = \sqrt{576 + 1296}$

Этап 4.7

Добавим $576$ и $1296$ .

$c = \sqrt{1872}$

Этап 4.8

Перепишем $1872$ в виде $12^{2} \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Вынесем множитель $144$ из $1872$ .

$c = \sqrt{144 (13)}$

Этап 4.8.2

Перепишем $144$ в виде $12^{2}$ .

$c = \sqrt{12^{2} \cdot 13}$

Этап 4.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$c = 12 \sqrt{13}$

Этап 5

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 6

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $A$ .

$\frac{\sin (A)}{24} = \frac{\sin (90 °)}{12 \sqrt{13}}$

Этап 7

Решим уравнение относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим обе части уравнения на $24$ .

$24 \frac{\sin (A)}{24} = 24 \frac{\sin (90 °)}{12 \sqrt{13}}$

Этап 7.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$24 \frac{\sin (A)}{24} = 24 \frac{\sin (90 °)}{12 \sqrt{13}}$

Этап 7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = 24 \frac{\sin (90 °)}{12 \sqrt{13}}$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим $24 \frac{\sin (90 °)}{12 \sqrt{13}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $12$ из $24$ .

$\sin (A) = 12 (2) \frac{\sin (90 °)}{12 \sqrt{13}}$

Этап 7.2.2.1.1.2

Вынесем множитель $12$ из $12 \sqrt{13}$ .

$\sin (A) = 12 (2) \frac{\sin (90 °)}{12 (\sqrt{13})}$

Этап 7.2.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\sin (A) = 12 \cdot 2 \frac{\sin (90 °)}{12 \sqrt{13}}$

Этап 7.2.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = 2 \frac{\sin (90 °)}{\sqrt{13}}$

Этап 7.2.2.1.2

Объединим $2$ и $\frac{\sin (90 °)}{\sqrt{13}}$ .

$\sin (A) = \frac{2 \sin (90 °)}{\sqrt{13}}$

Этап 7.2.2.1.3

Точное значение $\sin (90 °)$ : $1$ .

$\sin (A) = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{13}}$

Этап 7.2.2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\sin (A) = \frac{2}{\sqrt{13}}$

Этап 7.2.2.1.5

Умножим $\frac{2}{\sqrt{13}}$ на $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\sin (A) = \frac{2}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Этап 7.2.2.1.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.6.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{13}}$ на $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\sin (A) = \frac{2 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Этап 7.2.2.1.6.2

Возведем $\sqrt{13}$ в степень $1$ .

$\sin (A) = \frac{2 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

Этап 7.2.2.1.6.3

Возведем $\sqrt{13}$ в степень $1$ .

$\sin (A) = \frac{2 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

Этап 7.2.2.1.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (A) = \frac{2 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Этап 7.2.2.1.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (A) = \frac{2 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Этап 7.2.2.1.6.6

Перепишем ${\sqrt{13}}^{2}$ в виде $13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{13}$ в виде $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (A) = \frac{2 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.2.2.1.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (A) = \frac{2 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.2.2.1.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (A) = \frac{2 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.2.2.1.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (A) = \frac{2 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.2.2.1.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = \frac{2 \sqrt{13}}{13^{1}}$

Этап 7.2.2.1.6.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (A) = \frac{2 \sqrt{13}}{13}$

Этап 7.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $A$ из синуса.

$A = \arcsin (\frac{2 \sqrt{13}}{13})$

Этап 7.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{2 \sqrt{13}}{13})$ .

$A = 33.69006752$

Этап 7.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$A = 180 - 33.69006752$

Этап 7.6

Вычтем $33.69006752$ из $180$ .

$A = 146.30993247$

Этап 7.7

Решение уравнения $A = 33.69006752$ .

$A = 33.69006752, 146.30993247$

Этап 7.8

Исключим недопустимый угол.

$A = 33.69006752$

Этап 8

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$33.69006752 + 90 ° + B = 180$

Этап 9

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $33.69006752$ и $90 °$ .

$123.69006752 + B = 180$

Этап 9.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $123.69006752$ из обеих частей уравнения.

$B = 180 - 123.69006752$

Этап 9.2.2

Вычтем $123.69006752$ из $180$ .

$B = 56.30993247$

Этап 10

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 33.69006752$

$B = 56.30993247$

$C = 90 °$

$a = 24$

$b = 36$

$c = 12 \sqrt{13}$