Тригонометрия Примеры

$\cos (θ) - \tan (θ) \cos (θ) = 0$

Этап 1

Вынесем множитель $\cos (θ)$ из $\cos (θ) - \tan (θ) \cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим на $1$ .

$\cos (θ) \cdot 1 - \tan (θ) \cos (θ) = 0$

Этап 1.2

Вынесем множитель $\cos (θ)$ из $- \tan (θ) \cos (θ)$ .

$\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \tan (θ)) = 0$

Этап 1.3

Вынесем множитель $\cos (θ)$ из $\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \tan (θ))$ .

$\cos (θ) (1 - \tan (θ)) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$1 - \tan (θ) = 0$

Этап 3

Приравняем $\cos (θ)$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\cos (θ)$ к $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Этап 3.2

Решим $\cos (θ) = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (0)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Этап 3.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 3.2.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 3.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 3.2.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Этап 3.2.5

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.2.6

Период функции $\cos (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $1 - \tan (θ)$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $1 - \tan (θ)$ к $0$ .

$1 - \tan (θ) = 0$

Этап 4.2

Решим $1 - \tan (θ) = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \tan (θ) = - 1$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $- \tan (θ) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $- \tan (θ) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \tan (θ)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\tan (θ)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.2.2.2.2

Разделим $\tan (θ)$ на $1$ .

$\tan (θ) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\tan (θ) = 1$

Этап 4.2.3

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ = \arctan (1)$

Этап 4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Этап 4.2.5

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = π + \frac{π}{4}$

Этап 4.2.6

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 4.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 4.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 4.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 4.2.6.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Этап 4.2.7

Найдем период $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 4.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 4.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 4.2.7.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 4.2.8

Период функции $\tan (θ)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $\cos (θ) (1 - \tan (θ)) = 0$ верно.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{π}{2} + 2 π n$ и $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ в $\frac{π}{2} + π n$ .

$θ = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.2

Объединим $\frac{π}{4} + π n$ и $\frac{5 π}{4} + π n$ в $\frac{π}{4} + π n$ .

$θ = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Исключим решения, которые не делают $\cos (θ) (1 - \tan (θ)) = 0$ истинным.

$θ = \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$