Тригонометрия Примеры

Решить на интервале 4cos(x)^2+2cos(x)-2 квадратный корень из 2cos(x) = квадратный корень из 2 , [0,2pi)
,
Этап 1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 2
Разложим на множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Изменим порядок членов.
Этап 2.2
Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.1
Сгруппируем первые два члена и последние два члена.
Этап 2.2.2
Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.
Этап 2.3
Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель .
Этап 3
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 4
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Приравняем к .
Этап 4.2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 4.2.2
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.2.1
Разделим каждый член на .
Этап 4.2.2.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.2.2.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.2.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.2.2.2.1.2
Разделим на .
Этап 4.2.2.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.2.3.1
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 4.2.3
Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь из косинуса.
Этап 4.2.4
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.4.1
Точное значение : .
Этап 4.2.5
Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из и найдем решение в третьем квадранте.
Этап 4.2.6
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.6.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 4.2.6.2
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.6.2.1
Объединим и .
Этап 4.2.6.2.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.2.6.3
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.6.3.1
Умножим на .
Этап 4.2.6.3.2
Вычтем из .
Этап 4.2.7
Найдем период .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.7.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 4.2.7.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 4.2.7.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 4.2.7.4
Разделим на .
Этап 4.2.8
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
, для любого целого
Этап 5
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Приравняем к .
Этап 5.2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 5.2.2
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.2.1
Разделим каждый член на .
Этап 5.2.2.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.2.2.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.2.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 5.2.2.2.1.2
Разделим на .
Этап 5.2.3
Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь из косинуса.
Этап 5.2.4
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.4.1
Точное значение : .
Этап 5.2.5
Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из и найдем решение в четвертом квадранте.
Этап 5.2.6
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.6.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 5.2.6.2
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.6.2.1
Объединим и .
Этап 5.2.6.2.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 5.2.6.3
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.6.3.1
Умножим на .
Этап 5.2.6.3.2
Вычтем из .
Этап 5.2.7
Найдем период .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.7.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 5.2.7.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 5.2.7.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 5.2.7.4
Разделим на .
Этап 5.2.8
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
, для любого целого
Этап 6
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
, для любого целого
Этап 7
Найдем значения , которые позволяют получить значение в интервале .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1
Подставим вместо и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1.1
Подставим вместо .
Этап 7.1.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1.2.1
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1.2.1.1
Умножим на .
Этап 7.1.2.1.2
Умножим на .
Этап 7.1.2.2
Добавим и .
Этап 7.1.3
Интервал содержит .
Этап 7.2
Подставим вместо и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.2.1
Подставим вместо .
Этап 7.2.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.2.2.1
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.2.2.1.1
Умножим на .
Этап 7.2.2.1.2
Умножим на .
Этап 7.2.2.2
Добавим и .
Этап 7.2.3
Интервал содержит .
Этап 7.3
Подставим вместо и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.3.1
Подставим вместо .
Этап 7.3.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.3.2.1
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.3.2.1.1
Умножим на .
Этап 7.3.2.1.2
Умножим на .
Этап 7.3.2.2
Добавим и .
Этап 7.3.3
Интервал содержит .
Этап 7.4
Подставим вместо и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.4.1
Подставим вместо .
Этап 7.4.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.4.2.1
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.4.2.1.1
Умножим на .
Этап 7.4.2.1.2
Умножим на .
Этап 7.4.2.2
Добавим и .
Этап 7.4.3
Интервал содержит .