Тригонометрия Примеры

$\cos (\frac{π}{2} t) = - \frac{1}{2}$

Этап 1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из косинуса.

$\frac{π}{2} t = \arccos (- \frac{1}{2})$

Этап 2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{π}{2}$ и $t$ .

$\frac{π t}{2} = \arccos (- \frac{1}{2})$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение $\arccos (- \frac{1}{2})$ : $\frac{2 π}{3}$ .

$\frac{π t}{2} = \frac{2 π}{3}$

Этап 4

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π t}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим $\frac{2}{π} \cdot \frac{π t}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π t}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 5.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 5.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π t$ .

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 5.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 5.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $\frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

Этап 5.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

Этап 5.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$t = 2 (\frac{2}{3})$

Этап 5.2.1.2

Объединим $2$ и $\frac{2}{3}$ .

$t = \frac{2 \cdot 2}{3}$

Этап 5.2.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$t = \frac{4}{3}$

Этап 6

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$\frac{π t}{2} = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Этап 7

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π t}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Этап 7.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Упростим $\frac{2}{π} \cdot \frac{π t}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π t}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Этап 7.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Этап 7.2.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π t$ .

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Этап 7.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Этап 7.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$t = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим $\frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$t = \frac{2}{π} (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Этап 7.2.2.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$t = \frac{2}{π} (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Этап 7.2.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Этап 7.2.2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{6 π - 2 π}{3}$

Этап 7.2.2.1.3.2

Вычтем $2 π$ из $6 π$ .

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{4 π}{3}$

Этап 7.2.2.1.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.4.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.4.1.1

Вынесем множитель $π$ из $4 π$ .

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 4}{3}$

Этап 7.2.2.1.4.1.2

Сократим общий множитель.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 4}{3}$

Этап 7.2.2.1.4.1.3

Перепишем это выражение.

$t = 2 (\frac{4}{3})$

Этап 7.2.2.1.4.2

Объединим $2$ и $\frac{4}{3}$ .

$t = \frac{2 \cdot 4}{3}$

Этап 7.2.2.1.4.3

Умножим $2$ на $4$ .

$t = \frac{8}{3}$

Этап 8

Найдем период $\cos (\frac{π}{2} t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.2

Заменим $b$ на $\frac{π}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

Этап 8.3

$\frac{π}{2}$ приблизительно равно $1.57079632$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Этап 8.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{2}{π}$

Этап 8.5

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Этап 8.5.2

Сократим общий множитель.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Этап 8.5.3

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 2$

Этап 8.6

Умножим $2$ на $2$ .

$4$

Этап 9

Период функции $\cos (\frac{π}{2} t)$ равен $4$ . Поэтому значения повторяются через каждые $4$ рад. в обоих направлениях.

$t = \frac{4}{3} + 4 n, \frac{8}{3} + 4 n$ , для любого целого $n$