Тригонометрия Примеры

$\sec (x) (2 \cos (x) - \sqrt{2}) = 0$

Этап 1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sec (x) = 0$

$2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

Этап 2

Приравняем $\sec (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем $\sec (x)$ к $0$ .

$\sec (x) = 0$

Этап 2.2

Множество значений секанса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $0$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 3

Приравняем $2 \cos (x) - \sqrt{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $2 \cos (x) - \sqrt{2}$ к $0$ .

$2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

Этап 3.2

Решим $2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $\sqrt{2}$ к обеим частям уравнения.

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $2 \cos (x) = \sqrt{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $2 \cos (x) = \sqrt{2}$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Точное значение $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 3.2.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Этап 3.2.6

Упростим $2 π - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 3.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 3.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 3.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Этап 3.2.6.3.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Этап 3.2.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.2.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sec (x) (2 \cos (x) - \sqrt{2}) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$