Тригонометрия Примеры

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 23 \\ c = \\ a = & 34 ° \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = & 90 ° \end{matrix} \end{matrix}$

Этап 1

Используем теорему косинусов, чтобы найти неизвестную сторону треугольника по двум другим сторонам и прилежащему углу.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Этап 2

Решим уравнение.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Этап 3

Подставим известные значения в уравнение.

$c = \sqrt{{(34 °)}^{2} + {(23)}^{2} - 2 \cdot 34 ° \cdot 23 \cos (90 °)}$

Этап 4

Упростим результаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $34 °$ в степень $2$ .

$c = \sqrt{1156 + {(23)}^{2} - 2 \cdot 34 ° \cdot (23 \cos (90 °))}$

Этап 4.2

Возведем $23$ в степень $2$ .

$c = \sqrt{1156 + 529 - 2 \cdot 34 ° \cdot (23 \cos (90 °))}$

Этап 4.3

Умножим $- 2 \cdot 34 ° \cdot 23$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 2$ на $34 °$ .

$c = \sqrt{1156 + 529 - 68 \cdot (23 \cos (90 °))}$

Этап 4.3.2

Умножим $- 68$ на $23$ .

$c = \sqrt{1156 + 529 - 1564 \cos (90 °)}$

Этап 4.4

Точное значение $\cos (90 °)$ : $0$ .

$c = \sqrt{1156 + 529 - 1564 \cdot 0}$

Этап 4.5

Умножим $- 1564$ на $0$ .

$c = \sqrt{1156 + 529 + 0}$

Этап 4.6

Добавим $1156 + 529$ и $0$ .

$c = \sqrt{1156 + 529}$

Этап 4.7

Добавим $1156$ и $529$ .

$c = \sqrt{1685}$

Этап 5

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 6

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $A$ .

$\frac{\sin (A)}{34 °} = \frac{\sin (90 °)}{\sqrt{1685}}$

Этап 7

Решим уравнение относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим обе части уравнения на $34 °$ .

$34 ° \frac{\sin (A)}{34 °} = 34 ° \frac{\sin (90 °)}{\sqrt{1685}}$

Этап 7.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель $34 °$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$34 ° \frac{\sin (A)}{34 °} = 34 ° \frac{\sin (90 °)}{\sqrt{1685}}$

Этап 7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sin (90 °)}{\sqrt{1685}}$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим $34 ° \frac{\sin (90 °)}{\sqrt{1685}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Точное значение $\sin (90 °)$ : $1$ .

$\sin (A) = 34 ° \frac{1}{\sqrt{1685}}$

Этап 7.2.2.1.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{1685}}$ на $\frac{\sqrt{1685}}{\sqrt{1685}}$ .

$\sin (A) = 34 ° (\frac{1}{\sqrt{1685}} \cdot \frac{\sqrt{1685}}{\sqrt{1685}})$

Этап 7.2.2.1.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{1685}}$ на $\frac{\sqrt{1685}}{\sqrt{1685}}$ .

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{\sqrt{1685} \sqrt{1685}}$

Этап 7.2.2.1.3.2

Возведем $\sqrt{1685}$ в степень $1$ .

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{{\sqrt{1685}}^{1} \sqrt{1685}}$

Этап 7.2.2.1.3.3

Возведем $\sqrt{1685}$ в степень $1$ .

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{{\sqrt{1685}}^{1} {\sqrt{1685}}^{1}}$

Этап 7.2.2.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{{\sqrt{1685}}^{1 + 1}}$

Этап 7.2.2.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{{\sqrt{1685}}^{2}}$

Этап 7.2.2.1.3.6

Перепишем ${\sqrt{1685}}^{2}$ в виде $1685$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1685}$ в виде $1685^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{{(1685^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.2.2.1.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{1685^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.2.2.1.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{1685^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.2.2.1.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{1685^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.2.2.1.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{1685^{1}}$

Этап 7.2.2.1.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{1685}$

Этап 7.2.2.1.4

Объединим $34 °$ и $\frac{\sqrt{1685}}{1685}$ .

$\sin (A) = \frac{34 ° \sqrt{1685}}{1685}$

Этап 7.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $A$ из синуса.

$A = \arcsin (\frac{34 ° \sqrt{1685}}{1685})$

Этап 7.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{34 ° \sqrt{1685}}{1685})$ .

$A = 55.92280471$

Этап 7.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$A = 180 - 55.92280471$

Этап 7.6

Вычтем $55.92280471$ из $180$ .

$A = 124.07719528$

Этап 7.7

Решение уравнения $A = 55.92280471$ .

$A = 55.92280471, 124.07719528$

Этап 7.8

Исключим недопустимый угол.

$A = 55.92280471$

Этап 8

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$55.92280471 + 90 ° + B = 180$

Этап 9

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $55.92280471$ и $90 °$ .

$145.92280471 + B = 180$

Этап 9.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $145.92280471$ из обеих частей уравнения.

$B = 180 - 145.92280471$

Этап 9.2.2

Вычтем $145.92280471$ из $180$ .

$B = 34.07719528$

Этап 10

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 55.92280471$

$B = 34.07719528$

$C = 90 °$

$a = 34 °$

$b = 23$

$c = \sqrt{1685}$