Тригонометрия Примеры

$y = \arcsin (3 x)$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \arcsin (3 y)$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\arcsin (3 y) = x$ .

$\arcsin (3 y) = x$

Этап 2.2

Возьмем обратный арксинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арксинуса.

$3 y = \sin (x)$

Этап 2.3

Разделим каждый член $3 y = \sin (x)$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $3 y = \sin (x)$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\sin (x)}{3}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\sin (x)}{3}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\sin (x)}{3}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sin (x)}{3}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sin (x)}{3}$ обратной к $f (x) = \arcsin (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\arcsin (3 x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\arcsin (3 x)) = \frac{\sin (\arcsin (3 x))}{3}$

Этап 4.2.3

Синус и арксинус — обратные функции.

$f^{- 1} (\arcsin (3 x)) = \frac{3 x}{3}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\arcsin (3 x)) = \frac{3 x}{3}$

Этап 4.2.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\arcsin (3 x)) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{\sin (x)}{3})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\sin (x)}{3}) = \arcsin (3 (\frac{\sin (x)}{3}))$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sin (x)}{3}) = \arcsin (3 (\frac{\sin (x)}{3}))$

Этап 4.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sin (x)}{3}) = \arcsin (\sin (x))$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sin (x)}{3}$ — обратная к $f (x) = \arcsin (3 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sin (x)}{3}$