Тригонометрия Примеры

$x^{2} - 9 y^{2} = 900$

Этап 1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 9 y^{2} = 900 - x^{2}$

Этап 2

Разделим каждый член $- 9 y^{2} = 900 - x^{2}$ на $- 9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $- 9 y^{2} = 900 - x^{2}$ на $- 9$ .

$\frac{- 9 y^{2}}{- 9} = \frac{900}{- 9} + \frac{- x^{2}}{- 9}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $- 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 9 y^{2}}{- 9} = \frac{900}{- 9} + \frac{- x^{2}}{- 9}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{900}{- 9} + \frac{- x^{2}}{- 9}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Разделим $900$ на $- 9$ .

$y^{2} = - 100 + \frac{- x^{2}}{- 9}$

Этап 2.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y^{2} = - 100 + \frac{x^{2}}{9}$

Этап 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 100 + \frac{x^{2}}{9}}$

Этап 4

Упростим $\pm \sqrt{- 100 + \frac{x^{2}}{9}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 100 + \frac{x^{2}}{3^{2}}}$

Этап 4.2

Перепишем $\frac{x^{2}}{3^{2}}$ в виде ${(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 100 + {(\frac{x}{3})}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 10^{2} + {(\frac{x}{3})}^{2}}$

Этап 4.3.2

Изменим порядок $- 10^{2}$ и ${(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 10^{2}}$

Этап 4.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \frac{x}{3}$ и $b = 10$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{x}{3} + 10) (\frac{x}{3} - 10)}$

Этап 4.5

Чтобы записать $10$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{x}{3} + 10 \cdot \frac{3}{3}) (\frac{x}{3} - 10)}$

Этап 4.6

Объединим $10$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{x}{3} + \frac{10 \cdot 3}{3}) (\frac{x}{3} - 10)}$

Этап 4.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 10 \cdot 3}{3} (\frac{x}{3} - 10)}$

Этап 4.8

Умножим $10$ на $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} (\frac{x}{3} - 10)}$

Этап 4.9

Чтобы записать $- 10$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} (\frac{x}{3} - 10 \cdot \frac{3}{3})}$

Этап 4.10

Объединим $- 10$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} (\frac{x}{3} + \frac{- 10 \cdot 3}{3})}$

Этап 4.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} \cdot \frac{x - 10 \cdot 3}{3}}$

Этап 4.12

Умножим $- 10$ на $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} \cdot \frac{x - 30}{3}}$

Этап 4.13

Умножим $\frac{x + 30}{3}$ на $\frac{x - 30}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(x + 30) (x - 30)}{3 \cdot 3}}$

Этап 4.14

Умножим $3$ на $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(x + 30) (x - 30)}{9}}$

Этап 4.15

Перепишем $\frac{(x + 30) (x - 30)}{9}$ в виде ${(\frac{1}{3})}^{2} ((x + 30) (x - 30))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(x + 30) (x - 30)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 30) (x - 30))}{9}}$

Этап 4.15.2

Вынесем полную степень $3^{2}$ из $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 30) (x - 30))}{3^{2} \cdot 1}}$

Этап 4.15.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((x + 30) (x - 30))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((x + 30) (x - 30))}$

Этап 4.16

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{(x + 30) (x - 30)}$

Этап 4.17

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\sqrt{(x + 30) (x - 30)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

Этап 6

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(x + 30) (x - 30)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(x + 30) (x - 30) \geq 0$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 30 = 0$

$x - 30 = 0$

Этап 7.2

Приравняем $x + 30$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Приравняем $x + 30$ к $0$ .

$x + 30 = 0$

Этап 7.2.2

Вычтем $30$ из обеих частей уравнения.

$x = - 30$

Этап 7.3

Приравняем $x - 30$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Приравняем $x - 30$ к $0$ .

$x - 30 = 0$

Этап 7.3.2

Добавим $30$ к обеим частям уравнения.

$x = 30$

Этап 7.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 30) (x - 30) \geq 0$ верно.

$x = - 30, 30$

Этап 7.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 30$

$- 30 < x < 30$

$x > 30$

Этап 7.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 30$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 30$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 32$

Этап 7.6.1.2

Заменим $x$ на $- 32$ в исходном неравенстве.

$((- 32) + 30) ((- 32) - 30) \geq 0$

Этап 7.6.1.3

Левая часть $124$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.6.2

Проверим значение на интервале $- 30 < x < 30$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 30 < x < 30$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 7.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$((0) + 30) ((0) - 30) \geq 0$

Этап 7.6.2.3

Левая часть $- 900$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 7.6.3

Проверим значение на интервале $x > 30$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 30$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 32$

Этап 7.6.3.2

Заменим $x$ на $32$ в исходном неравенстве.

$((32) + 30) ((32) - 30) \geq 0$

Этап 7.6.3.3

Левая часть $124$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 30$ Истина

$- 30 < x < 30$ Ложь

$x > 30$ Истина

$x < - 30$ Истина

$- 30 < x < 30$ Ложь

$x > 30$ Истина

Этап 7.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 30$ или $x \geq 30$

Этап 8

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 30] \cup [30, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq - 30, x \geq 30}$

Этап 9

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \in ℝ}$

Этап 10

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, - 30] \cup [30, \infty), {x | x \leq - 30, x \geq 30}$

Диапазон: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Этап 11