Тригонометрия Примеры

$\sec (\frac{5 θ}{4}) = 2$

Этап 1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $θ$ из-под знака секанса.

$\frac{5 θ}{4} = arcsec (2)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $arcsec (2)$ : $\frac{π}{3}$ .

$\frac{5 θ}{4} = \frac{π}{3}$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 θ}{4} = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$

Этап 4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим $\frac{4}{5} \cdot \frac{5 θ}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 θ}{4} = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$

Этап 4.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{5} (5 θ) = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$

Этап 4.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 θ$ .

$\frac{1}{5} (5 (θ)) = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$

Этап 4.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{5} (5 θ) = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$

Этап 4.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $\frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $\frac{4}{5}$ на $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{4 π}{5 \cdot 3}$

Этап 4.2.1.2

Умножим $5$ на $3$ .

$θ = \frac{4 π}{15}$

Этап 5

Функция секанса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{5 θ}{4} = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 6

Решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 θ}{4} = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$

Этап 6.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Упростим $\frac{4}{5} \cdot \frac{5 θ}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 θ}{4} = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$

Этап 6.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{5} (5 θ) = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$

Этап 6.2.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 θ$ .

$\frac{1}{5} (5 (θ)) = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$

Этап 6.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{5} (5 θ) = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$

Этап 6.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим $\frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{4}{5} (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3})$

Этап 6.2.2.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{4}{5} (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3})$

Этап 6.2.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{4}{5} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 6.2.2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$θ = \frac{4}{5} \cdot \frac{6 π - π}{3}$

Этап 6.2.2.1.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$θ = \frac{4}{5} \cdot \frac{5 π}{3}$

Этап 6.2.2.1.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.4.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.4.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 π$ .

$θ = \frac{4}{5} \cdot \frac{5 (π)}{3}$

Этап 6.2.2.1.4.1.2

Сократим общий множитель.

$θ = \frac{4}{5} \cdot \frac{5 π}{3}$

Этап 6.2.2.1.4.1.3

Перепишем это выражение.

$θ = 4 \frac{π}{3}$

Этап 6.2.2.1.4.2

Объединим $4$ и $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Этап 7

Найдем период $\sec (\frac{5 θ}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $\frac{5}{4}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{5}{4} |}$

Этап 7.3

$\frac{5}{4}$ приблизительно равно $1.25$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{5}{4}}$

Этап 7.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{4}{5}$

Этап 7.5

Умножим $2 π \frac{4}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Объединим $\frac{4}{5}$ и $2$ .

$\frac{4 \cdot 2}{5} π$

Этап 7.5.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8}{5} π$

Этап 7.5.3

Объединим $\frac{8}{5}$ и $π$ .

$\frac{8 π}{5}$

Этап 8

Период функции $\sec (\frac{5 θ}{4})$ равен $\frac{8 π}{5}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{8 π}{5}$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{4 π}{15} + \frac{8 π n}{5}, \frac{4 π}{3} + \frac{8 π n}{5}$ , для любого целого $n$