Тригонометрия Примеры

$\sqrt{y} = 2 - y$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{y}}^{2} = {(2 - y)}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 - y)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 - y)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 - y)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(2 - y)}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$y = {(2 - y)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(2 - y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(2 - y)}^{2}$ в виде $(2 - y) (2 - y)$ .

$y = (2 - y) (2 - y)$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(2 - y) (2 - y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 2 (2 - y) - y (2 - y)$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 2 \cdot 2 + 2 (- y) - y (2 - y)$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 2 \cdot 2 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$y = 4 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)$

Этап 2.3.1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = 4 - 2 y - y \cdot 2 - y (- y)$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = 4 - 2 y - 2 y - y (- y)$

Этап 2.3.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = 4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot - 1 y \cdot y$

Этап 2.3.1.3.1.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.5.1

Перенесем $y$ .

$y = 4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)$

Этап 2.3.1.3.1.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$y = 4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot - 1 y^{2}$

Этап 2.3.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = 4 - 2 y - 2 y + 1 y^{2}$

Этап 2.3.1.3.1.7

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$y = 4 - 2 y - 2 y + y^{2}$

Этап 2.3.1.3.2

Вычтем $2 y$ из $- 2 y$ .

$y = 4 - 4 y + y^{2}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$4 - 4 y + y^{2} = y$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$4 - 4 y + y^{2} - y = 0$

Этап 3.2.2

Вычтем $y$ из $- 4 y$ .

$4 + y^{2} - 5 y = 0$

Этап 3.3

Разложим $4 + y^{2} - 5 y$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $4$ , а сумма — $- 5$ .

$- 4, - 1$

Этап 3.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(y - 4) (y - 1) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 4 = 0$

$y - 1 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $y - 4$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $y - 4$ к $0$ .

$y - 4 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$y = 4$

Этап 3.6

Приравняем $y - 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $y - 1$ к $0$ .

$y - 1 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = 1$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(y - 4) (y - 1) = 0$ верно.

$y = 4, 1$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{y} = 2 - y$ истинным.

$y = 1$