Тригонометрия Примеры

$x^{4} - 4 x^{2} - 4 x + 8$

Этап 1

Разложим $x^{4} - 4 x^{2} - 4 x + 8$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Этап 1.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$2^{4} - 4 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 8$

Этап 1.3.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$16 - 4 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 8$

Этап 1.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$16 - 4 \cdot 4 - 4 \cdot 2 + 8$

Этап 1.3.4

Умножим $- 4$ на $4$ .

$16 - 16 - 4 \cdot 2 + 8$

Этап 1.3.5

Вычтем $16$ из $16$ .

$0 - 4 \cdot 2 + 8$

Этап 1.3.6

Умножим $- 4$ на $2$ .

$0 - 8 + 8$

Этап 1.3.7

Вычтем $8$ из $0$ .

$- 8 + 8$

Этап 1.3.8

Добавим $- 8$ и $8$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} - 4 x^{2} - 4 x + 8}{x - 2}$

Этап 1.5

Разделим $x^{4} - 4 x^{2} - 4 x + 8$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} - 2 x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} - 4 x^{2}$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0$

Этап 1.5.11

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0$

$4 x$

$8$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0$

$4 x$

$8$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x + 8$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

$0$

Этап 1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{3} + 2 x^{2} + 0 x - 4$

Этап 1.6

Запишем $x^{4} - 4 x^{2} - 4 x + 8$ в виде набора множителей.

$(x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 0 x - 4)$

Этап 2

Умножим $0$ на $x$ .

$(x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 0 - 4)$

Этап 3

Добавим $x^{3}$ и $0$ .

$(x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} - 4)$