Тригонометрия Примеры

$f (t) = \frac{2}{3} \cos (t)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $\frac{2}{3}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{2}{3} \cdot \cos (t)$ по $t$ равна $\frac{2}{3} \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Этап 1.2

Производная $\cos (t)$ по $t$ равна $- \sin (t)$ .

$\frac{2}{3} (- \sin (t))$

Этап 1.3

Объединим $\frac{2}{3}$ и $\sin (t)$ .

$- \frac{2 \sin (t)}{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- \frac{2}{3}$ является константой относительно $t$ , производная $- \frac{2 \sin (t)}{3}$ по $t$ равна $- \frac{2}{3} \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ .

$f'' (t) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d t} \sin (t)$

Этап 2.2

Производная $\sin (t)$ по $t$ равна $\cos (t)$ .

$f'' (t) = - \frac{2}{3} \cdot \cos (t)$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Объединим $\cos (t)$ и $\frac{2}{3}$ .

$f'' (t) = - \frac{\cos (t) \cdot 2}{3}$

Этап 2.3.2

Перенесем $2$ влево от $\cos (t)$ .

$f'' (t) = - \frac{2 \cos (t)}{3}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{2 \sin (t)}{3} = 0$

Этап 4

Приравняем числитель к нулю.

$2 \sin (t) = 0$

Этап 5

Решим уравнение относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $2 \sin (t) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Разделим каждый член $2 \sin (t) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 5.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 5.1.2.1.2

Разделим $\sin (t)$ на $1$ .

$\sin (t) = \frac{0}{2}$

Этап 5.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$\sin (t) = 0$

Этап 5.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из синуса.

$t = \arcsin (0)$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$t = 0$

Этап 5.4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$t = π - 0$

Этап 5.5

Вычтем $0$ из $π$ .

$t = π$

Этап 5.6

Решение уравнения $t = 0$ .

$t = 0, π$

Этап 6

Найдем вторую производную в $t = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{2 \cos (0)}{3}$

Этап 7

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{3}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$- \frac{2}{3}$

Этап 8

$t = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$t = 0$ — локальный максимум

Этап 9

Найдем значение y, если $t = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $0$ .

$f (0) = \frac{2}{3} \cdot \cos (0)$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = \frac{2}{3} \cdot 1$

Этап 9.2.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$f (0) = \frac{2}{3}$

Этап 9.2.3

Окончательный ответ: $\frac{2}{3}$ .

$y = \frac{2}{3}$

Этап 10

Найдем вторую производную в $t = π$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{2 \cos (π)}{3}$

Этап 11

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- \frac{2 (- \cos (0))}{3}$

Этап 11.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- \frac{2 (- 1 \cdot 1)}{3}$

Этап 11.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Этап 11.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{- 2}{3}$

Этап 11.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{2}{3}$

Этап 11.3

Умножим $- - \frac{2}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{2}{3})$

Этап 11.3.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$\frac{2}{3}$

Этап 12

$t = π$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$t = π$ — локальный минимум

Этап 13

Найдем значение y, если $t = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $π$ .

$f (π) = \frac{2}{3} \cdot \cos (π)$

Этап 13.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

$f (π) = \frac{2}{3} \cdot (- \cos (0))$

Этап 13.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (π) = \frac{2}{3} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Этап 13.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (π) = \frac{2}{3} \cdot - 1$

Этап 13.2.4

Умножим $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $- 1$ .

$f (π) = \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Этап 13.2.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (π) = \frac{- 2}{3}$

Этап 13.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (π) = - \frac{2}{3}$

Этап 13.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{2}{3}$

Этап 14

Это локальные экстремумы $f (t) = \frac{2}{3} \cdot \cos (t)$ .

$(0, \frac{2}{3})$ — локальный максимум

$(π, - \frac{2}{3})$ — локальный минимум

Этап 15