Тригонометрия Примеры

$y = \frac{1}{2} \arccos (π x) - 3$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π y) - 3$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{2} \cdot \arccos (π y) - 3 = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \arccos (π y) - 3 = x$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\arccos (π y)$ .

$\frac{\arccos (π y)}{2} - 3 = x$

Этап 2.3

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$\frac{\arccos (π y)}{2} = x + 3$

Этап 2.4

Умножим обе части на $2$ .

$\frac{\arccos (π y)}{2} \cdot 2 = (x + 3) \cdot 2$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\arccos (π y)}{2} \cdot 2 = (x + 3) \cdot 2$

Этап 2.5.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\arccos (π y) = (x + 3) \cdot 2$

Этап 2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим $(x + 3) \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\arccos (π y) = x \cdot 2 + 3 \cdot 2$

Этап 2.5.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.2.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\arccos (π y) = 2 \cdot x + 3 \cdot 2$

Этап 2.5.2.1.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\arccos (π y) = 2 x + 6$

Этап 2.6

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Возьмем обратный арккосинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арккосинуса.

$π y = \cos (2 x + 6)$

Этап 2.6.2

Разделим каждый член $π y = \cos (2 x + 6)$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Разделим каждый член $π y = \cos (2 x + 6)$ на $π$ .

$\frac{π y}{π} = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

Этап 2.6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π y}{π} = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

Этап 2.6.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$ обратной к $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) + 6)}{π}$

Этап 4.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\arccos (π x)$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{\arccos (π x)}{2} - 3) + 6)}{π}$

Этап 4.2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{\arccos (π x)}{2}) + 2 \cdot - 3 + 6)}{π}$

Этап 4.2.3.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{\arccos (π x)}{2}) + 2 \cdot - 3 + 6)}{π}$

Этап 4.2.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x) + 2 \cdot - 3 + 6)}{π}$

Этап 4.2.3.1.4

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x) - 6 + 6)}{π}$

Этап 4.2.3.2

Объединим противоположные члены в $\arccos (π x) - 6 + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Добавим $- 6$ и $6$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x) + 0)}{π}$

Этап 4.2.3.2.2

Добавим $\arccos (π x)$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x))}{π}$

Этап 4.2.3.3

Косинус и арккосинус — обратные функции.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{π x}{π}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{π x}{π}$

Этап 4.2.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π (\frac{\cos (2 x + 6)}{π})) - 3$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π (\frac{\cos (2 x + 6)}{π})) - 3$

Этап 4.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (\cos (2 x + 6)) - 3$

Этап 4.3.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\arccos (\cos (2 x + 6))$ .

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{\arccos (\cos (2 x + 6))}{2} - 3$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$