Тригонометрия Примеры

$9 y^{2} + 41 = 4 x^{2} + 54 y + 8 x$

Этап 1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $4 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$9 y^{2} + 41 - 4 x^{2} = 54 y + 8 x$

Этап 1.2

Вычтем $54 y$ из обеих частей уравнения.

$9 y^{2} + 41 - 4 x^{2} - 54 y = 8 x$

Этап 1.3

Вычтем $8 x$ из обеих частей уравнения.

$9 y^{2} + 41 - 4 x^{2} - 54 y - 8 x = 0$

Этап 1.4

Перенесем $41$ .

$9 y^{2} - 4 x^{2} - 54 y - 8 x + 41 = 0$

Этап 1.5

Перенесем $- 54 y$ .

$9 y^{2} - 4 x^{2} - 8 x - 54 y + 41 = 0$

Этап 1.6

Изменим порядок $9 y^{2}$ и $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} + 9 y^{2} - 8 x - 54 y + 41 = 0$

Этап 2

Вычтем $41$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x^{2} + 9 y^{2} - 8 x - 54 y = - 41$

Этап 3

Составим полный квадрат для $- 4 x^{2} - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Этап 3.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 3.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (- 4)}$

Этап 3.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 4}{- 4}$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{- 4}{- 4}$

Этап 3.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$d = 1$

Этап 3.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot - 4}$

Этап 3.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$e = 0 - \frac{64}{- 16}$

Этап 3.4.2.1.3

Разделим $64$ на $- 16$ .

$e = 0 - - 4$

Этап 3.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Этап 3.4.2.2

Добавим $0$ и $4$ .

$e = 4$

Этап 3.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 4 {(x + 1)}^{2} + 4$ .

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 4$

Этап 4

Подставим $- 4 {(x + 1)}^{2} + 4$ вместо $- 4 x^{2} - 8 x$ в уравнение $- 4 x^{2} + 9 y^{2} - 8 x - 54 y = - 41$ .

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 4 + 9 y^{2} - 54 y = - 41$

Этап 5

Перенесем $4$ в правую часть уравнения, прибавив $4$ к обеим частям.

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 9 y^{2} - 54 y = - 41 - 4$

Этап 6

Составим полный квадрат для $9 y^{2} - 54 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 9$

$b = - 54$

$c = 0$

Этап 6.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 6.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 54}{2 \cdot 9}$

Этап 6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $- 54$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 54$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Этап 6.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (9)}$

Этап 6.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Этап 6.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 27}{9}$

Этап 6.3.2.2

Сократим общий множитель $- 27$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $- 27$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9}$

Этап 6.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 (1)}$

Этап 6.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 \cdot 1}$

Этап 6.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 3}{1}$

Этап 6.3.2.2.2.4

Разделим $- 3$ на $1$ .

$d = - 3$

Этап 6.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Этап 6.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Возведем $- 54$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Этап 6.4.2.1.2

Умножим $4$ на $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Этап 6.4.2.1.3

Разделим $2916$ на $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Этап 6.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $81$ .

$e = 0 - 81$

Этап 6.4.2.2

Вычтем $81$ из $0$ .

$e = - 81$

Этап 6.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $9 {(y - 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(y - 3)}^{2} - 81$

Этап 7

Подставим $9 {(y - 3)}^{2} - 81$ вместо $9 y^{2} - 54 y$ в уравнение $- 4 x^{2} + 9 y^{2} - 8 x - 54 y = - 41$ .

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} - 81 = - 41 - 4$

Этап 8

Перенесем $- 81$ в правую часть уравнения, прибавив $81$ к обеим частям.

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} = - 41 - 4 + 81$

Этап 9

Упростим $- 41 - 4 + 81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вычтем $4$ из $- 41$ .

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} = - 45 + 81$

Этап 9.2

Добавим $- 45$ и $81$ .

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} = 36$

Этап 10

Разделим каждый член на $36$ , чтобы правая часть была равна единице.

$- \frac{4 {(x + 1)}^{2}}{36} + \frac{9 {(y - 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Этап 11

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{4} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{9} = 1$