Тригонометрия Примеры

$\sin (2 x) - 2 \cos (x) = 0$ , $(0, 2 π)$

Этап 1

Применим формулу двойного угла для синуса.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos (x) = 0$

Этап 2

Вынесем множитель $2 \cos (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $2 \cos (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x) = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $2 \cos (x)$ из $- 2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $2 \cos (x)$ из $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1$ .

$2 \cos (x) (\sin (x) - 1) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Этап 4

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ .

$\cos (x) = 0$

Этап 4.2

Решим $\cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 4.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 4.2.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 4.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 4.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 4.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 4.2.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 4.2.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $\sin (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\sin (x) - 1$ к $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $\sin (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\sin (x) = 1$

Этап 5.2.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (1)$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.5

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 5.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 5.2.5.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 5.2.6

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 \cos (x) (\sin (x) - 1) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Найдем значения $n$ , которые позволяют получить значение в интервале $(0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Подставим $0$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $(0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Подставим $0$ вместо $n$ .

$\frac{π}{2} + π (0)$

Этап 8.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Умножим $π$ на $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Этап 8.1.2.2

Добавим $\frac{π}{2}$ и $0$ .

$\frac{π}{2}$

Этап 8.1.3

Интервал $(0, 2 π)$ содержит $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 8.2

Подставим $1$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $(0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Подставим $1$ вместо $n$ .

$\frac{π}{2} + π (1)$

Этап 8.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Умножим $π$ на $1$ .

$\frac{π}{2} + π$

Этап 8.2.2.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

Этап 8.2.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.3.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Этап 8.2.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π + π \cdot 2}{2}$

Этап 8.2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.4.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$\frac{π + 2 \cdot π}{2}$

Этап 8.2.2.4.2

Добавим $π$ и $2 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 8.2.3

Интервал $(0, 2 π)$ содержит $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$