Тригонометрия Примеры

sin (7 x)

$\sin (7 x)$

Этап 1

Хороший способ развертывания

$\sin (7 x)$ — применение формулы Муавра

$(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ . Если

$r = 1$ ,

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ .

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

Этап 2

Развернем правую часть

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ , используя бином Ньютона.

Развернуть:

${(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{7}$

Этап 3

Воспользуемся бином Ньютона.

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) (i \sin (x)) + 21 \cos^{5} (x) {(i \sin (x))}^{2} + 35 \cos^{4} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 35 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило умножения к

$i \sin (x)$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) + 21 \cos^{5} (x) (i^{2} \sin^{2} (x)) + 35 \cos^{4} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 35 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) + 21 \cdot i^{2} \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) + 35 \cos^{4} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 35 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.3

Перепишем

$i^{2}$ в виде

$- 1$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) + 21 \cdot - 1 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) + 35 \cos^{4} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 35 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.4

Умножим

$21$ на

$- 1$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) + 35 \cos^{4} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 35 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.5

Применим правило умножения к

$i \sin (x)$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) + 35 \cos^{4} (x) (i^{3} \sin^{3} (x)) + 35 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) + 35 \cdot i^{3} \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.7

Вынесем

$i^{2}$ за скобки.

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) + 35 \cdot (i^{2} \cdot i) \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.8

Перепишем

$i^{2}$ в виде

$- 1$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) + 35 \cdot (- 1 \cdot i) \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.9

Перепишем

$- 1 i$ в виде

$- i$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) + 35 \cdot (- i) \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.10

Умножим

$- 1$ на

$35$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.11

Применим правило умножения к

$i \sin (x)$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) (i^{4} \sin^{4} (x)) + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.12

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cdot i^{4} \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.13

Перепишем

$i^{4}$ в виде

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.13.1

Перепишем

$i^{4}$ в виде

${(i^{2})}^{2}$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cdot {(i^{2})}^{2} \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.13.2

Перепишем

$i^{2}$ в виде

$- 1$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cdot {(- 1)}^{2} \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.13.3

Возведем

$- 1$ в степень

$2$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cdot 1 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.14

Умножим

$35$ на

$1$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.15

Применим правило умножения к

$i \sin (x)$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 \cos^{2} (x) (i^{5} \sin^{5} (x)) + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.16

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 \cdot i^{5} \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.17

Вынесем

$i^{4}$ за скобки.

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 \cdot (i^{4} i) \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.18

Перепишем

$i^{4}$ в виде

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.18.1

Перепишем

$i^{4}$ в виде

${(i^{2})}^{2}$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 \cdot ({(i^{2})}^{2} i) \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.18.2

Перепишем

$i^{2}$ в виде

$- 1$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 \cdot ({(- 1)}^{2} i) \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.18.3

Возведем

$- 1$ в степень

$2$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 \cdot (1 i) \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.19

Умножим

$i$ на

$1$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 \cdot i \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) + 7 \cos (x) {(i \sin (x))}^{6} + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.20

Применим правило умножения к

$i \sin (x)$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 i \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) + 7 \cos (x) (i^{6} \sin^{6} (x)) + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.21

Вынесем

$i^{4}$ за скобки.

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 i \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) + 7 \cos (x) (i^{4} i^{2} \sin^{6} (x)) + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.22

Перепишем

$i^{4}$ в виде

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.22.1

Перепишем

$i^{4}$ в виде

${(i^{2})}^{2}$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 i \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) + 7 \cos (x) ({(i^{2})}^{2} i^{2} \sin^{6} (x)) + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.22.2

Перепишем

$i^{2}$ в виде

$- 1$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 i \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) + 7 \cos (x) ({(- 1)}^{2} i^{2} \sin^{6} (x)) + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.22.3

Возведем

$- 1$ в степень

$2$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 i \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) + 7 \cos (x) (1 i^{2} \sin^{6} (x)) + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.23

Умножим

$i^{2}$ на

$1$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 i \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) + 7 \cos (x) (i^{2} \sin^{6} (x)) + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.24

Перепишем

$i^{2}$ в виде

$- 1$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 i \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) + 7 \cos (x) (- 1 \sin^{6} (x)) + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.25

Перепишем

$- 1 \sin^{6} (x)$ в виде

$- \sin^{6} (x)$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 i \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) + 7 \cos (x) (- \sin^{6} (x)) + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.26

Умножим

$- 1$ на

$7$ .

$\cos^{7} (x) + 7 \cos^{6} (x) i \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 i \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) - 7 \cos (x) \sin^{6} (x) + {(i \sin (x))}^{7}$

Этап 4.1.27

Применим правило умножения к

$i \sin (x)$ .

Этап 4.1.28

Перепишем

$i^{7}$ в виде

$i^{4} (i^{2} \cdot i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.28.1

Вынесем

$i^{4}$ за скобки.

Этап 4.1.28.2

Вынесем

$i^{2}$ за скобки.

Этап 4.1.29

Перепишем

$i^{4}$ в виде

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.29.1

Перепишем

$i^{4}$ в виде

${(i^{2})}^{2}$ .

Этап 4.1.29.2

Перепишем

$i^{2}$ в виде

$- 1$ .

Этап 4.1.29.3

Возведем

$- 1$ в степень

$2$ .

Этап 4.1.30

Умножим

$i^{2} \cdot i$ на

$1$ .

Этап 4.1.31

Перепишем

$i^{2}$ в виде

$- 1$ .

Этап 4.1.32

Перепишем

$- 1 i$ в виде

$- i$ .

Этап 4.2

Изменим порядок множителей в

$\cos^{7} (x) + 7 i \cos^{6} (x) \sin (x) - 21 \cos^{5} (x) \sin^{2} (x) - 35 i \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 35 \cos^{3} (x) \sin^{4} (x) + 21 i \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) - 7 \cos (x) \sin^{6} (x) - i \sin^{7} (x)$

Этап 5

Вынесем выражения с мнимой частью, которые равны

$\sin (7 x)$ . Избавимся от мнимого числа

$i$ .

$\sin (7 x) = 7 \cos^{6} (x) \sin (x) - 35 \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) + 21 \cos^{2} (x) \sin^{5} (x) - \sin^{7} (x)$