Тригонометрия Примеры

$r = 10 \sin (θ)$

Этап 1

Так как $\sin (θ) = \frac{y}{r}$ , заменим $\sin (θ)$ на $\frac{y}{r}$ .

$r = 10 \frac{y}{r}$

Этап 2

Умножим обе части на $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим обе части на $r$ .

$r \cdot r = r (10 \frac{y}{r})$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $r$ на $r$ .

$r^{2} = r (10 \frac{y}{r})$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $r (10 \frac{y}{r})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$r^{2} = 10 r \frac{y}{r}$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Вынесем множитель $r$ из $10 r$ .

$r^{2} = r \cdot 10 \frac{y}{r}$

Этап 2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$r^{2} = r \cdot 10 \frac{y}{r}$

Этап 2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$r^{2} = 10 y$

Этап 3

Так как $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ , заменим $r^{2}$ на $x^{2} + y^{2}$ , и $r$ на $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} = 10 y$

Этап 4

Запишем в стандартной форме.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $10 y$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + y^{2} - 10 y = 0$

Этап 4.2

Составим полный квадрат для $y^{2} - 10 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 10$

$c = 0$

Этап 4.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 4.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 10}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.2

Сократим общий множитель $- 10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 (1)}$

Этап 4.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 5}{1}$

Этап 4.2.3.2.2.4

Разделим $- 5$ на $1$ .

$d = - 5$

Этап 4.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{100}{4}$

Этап 4.2.4.2.1.3

Разделим $100$ на $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 25$

Этап 4.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $25$ .

$e = 0 - 25$

Этап 4.2.4.2.2

Вычтем $25$ из $0$ .

$e = - 25$

Этап 4.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y - 5)}^{2} - 25$ .

${(y - 5)}^{2} - 25$

Этап 4.3

Подставим ${(y - 5)}^{2} - 25$ вместо $y^{2} - 10 y$ в уравнение $x^{2} + y^{2} - 10 y = 0$ .

$x^{2} + {(y - 5)}^{2} - 25 = 0$

Этап 4.4

Перенесем $- 25$ в правую часть уравнения, прибавив $25$ к обеим частям.

$x^{2} + {(y - 5)}^{2} = 0 + 25$

Этап 4.5

Добавим $0$ и $25$ .

$x^{2} + {(y - 5)}^{2} = 25$