Тригонометрия Примеры

$3 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Подставим $u$ вместо $\cos (x)$ для всех.

$3 u^{2} + 2 u - 1 = 0$

Этап 1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 u$ .

$3 u^{2} + 2 (u) - 1 = 0$

Этап 1.2.1.2

Запишем $2$ как $- 1$ плюс $3$

$3 u^{2} + (- 1 + 3) u - 1 = 0$

Этап 1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 u^{2} - 1 u + 3 u - 1 = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 u^{2} - 1 u) + 3 u - 1 = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (3 u - 1) + 1 (3 u - 1) = 0$

Этап 1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 u - 1$ .

$(3 u - 1) (u + 1) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$(3 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $3 \cos (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $3 \cos (x) - 1$ к $0$ .

$3 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $3 \cos (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 \cos (x) = 1$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $3 \cos (x) = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $3 \cos (x) = 1$ на $3$ .

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{3}$

Этап 3.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{1}{3})$

Этап 3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Найдем значение $\arccos (\frac{1}{3})$ .

$x = 1.23095941$

Этап 3.2.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 (3.14159265) - 1.23095941$

Этап 3.2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Избавимся от скобок.

$x = 2 (3.14159265) - 1.23095941$

Этап 3.2.6.2

Упростим $2 (3.14159265) - 1.23095941$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.2.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.23095941$

Этап 3.2.6.2.2

Вычтем $1.23095941$ из $6.2831853$ .

$x = 5.05222588$

Этап 3.2.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.2.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $\cos (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\cos (x) + 1$ к $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $\cos (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\cos (x) = - 1$

Этап 4.2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- 1)$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $π$ .

$x = π$

Этап 4.2.4

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - π$

Этап 4.2.5

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = π$

Этап 4.2.6

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2.7

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0$ верно.

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$