Тригонометрия Примеры

$\sqrt{{(\sqrt{6} - 2 \sqrt{3})}^{2} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 1

Перепишем ${(\sqrt{6} - 2 \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) (\sqrt{6} - 2 \sqrt{3})$ .

$\sqrt{(\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) (\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 2

Развернем $(\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) (\sqrt{6} - 2 \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{\sqrt{6} (\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sqrt{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 3.1.2

Умножим $6$ на $6$ .

$\sqrt{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 3.1.3

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\sqrt{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 3.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sqrt{6 + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 3.1.5

Умножим $\sqrt{6} (- 2 \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sqrt{6 - 2 \sqrt{6 \cdot 3} - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 3.1.5.2

Умножим $6$ на $3$ .

$\sqrt{6 - 2 \sqrt{18} - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 3.1.6

Перепишем $18$ в виде $3^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$\sqrt{6 - 2 \sqrt{9 (2)} - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 3.1.6.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\sqrt{6 - 2 \sqrt{3^{2} \cdot 2} - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 3.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$\sqrt{6 - 2 (3 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 3.1.8

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 3.1.9

Умножим $- 2 \sqrt{3} \sqrt{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.9.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6 \cdot 3} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 3.1.9.2

Умножим $6$ на $3$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{18} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 3.1.10

Перепишем $18$ в виде $3^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.10.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{9 (2)} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 3.1.10.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3^{2} \cdot 2} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 3.1.11

Вынесем члены из-под знака корня.

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 2 (3 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 3.1.12

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 3.1.13

Умножим $- 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.13.1

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 \sqrt{3} \sqrt{3} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 3.1.13.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 3.1.13.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 3.1.13.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 3.1.13.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{3}}^{2} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 3.1.14

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.14.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 3.1.14.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 3.1.14.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 3.1.14.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.14.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 3.1.14.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 3^{1} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 3.1.14.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 3 + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 3.1.15

Умножим $4$ на $3$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 12 + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 3.2

Добавим $6$ и $12$ .

$\sqrt{18 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 3.3

Вычтем $6 \sqrt{2}$ из $- 6 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 4

Перепишем ${(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(5 \sqrt{6} + \sqrt{3}) (5 \sqrt{6} + \sqrt{3})$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + (5 \sqrt{6} + \sqrt{3}) (5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}$

Этап 5

Развернем $(5 \sqrt{6} + \sqrt{3}) (5 \sqrt{6} + \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 5 \sqrt{6} (5 \sqrt{6} + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 5 \sqrt{6} (5 \sqrt{6}) + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 5 \sqrt{6} (5 \sqrt{6}) + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $5 \sqrt{6} (5 \sqrt{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Умножим $5$ на $5$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 \sqrt{6} \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.1.1.2

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}) + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.1.1.3

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}) + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 {\sqrt{6}}^{1 + 1} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 {\sqrt{6}}^{2} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.1.2

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 \cdot 6^{1} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.1.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 \cdot 6 + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.1.3

Умножим $25$ на $6$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.1.4

Умножим $5 \sqrt{6} \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 5 \sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.1.4.2

Умножим $3$ на $6$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 5 \sqrt{18} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.1.5

Перепишем $18$ в виде $3^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 5 \sqrt{9 (2)} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.1.5.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 5 \sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 5 (3 \sqrt{2}) + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.1.7

Умножим $3$ на $5$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.1.8

Умножим $\sqrt{3} (5 \sqrt{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.8.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 5 \sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.1.8.2

Умножим $3$ на $6$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 5 \sqrt{18} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.1.9

Перепишем $18$ в виде $3^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.9.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 5 \sqrt{9 (2)} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.1.9.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 5 \sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.1.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 5 (3 \sqrt{2}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.1.11

Умножим $3$ на $5$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 15 \sqrt{2} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.1.12

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 15 \sqrt{2} + \sqrt{3 \cdot 3}}$

Этап 6.1.13

Умножим $3$ на $3$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 15 \sqrt{2} + \sqrt{9}}$

Этап 6.1.14

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 15 \sqrt{2} + \sqrt{3^{2}}}$

Этап 6.1.15

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 15 \sqrt{2} + 3}$

Этап 6.2

Добавим $150$ и $3$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 153 + 15 \sqrt{2} + 15 \sqrt{2}}$

Этап 6.3

Добавим $15 \sqrt{2}$ и $15 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 153 + 30 \sqrt{2}}$

Этап 7

Добавим $18$ и $153$ .

$\sqrt{171 - 12 \sqrt{2} + 30 \sqrt{2}}$

Этап 8

Добавим $- 12 \sqrt{2}$ и $30 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{171 + 18 \sqrt{2}}$

Этап 9

Перепишем $171 + 18 \sqrt{2}$ в виде $3^{2} (19 + 2 \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $9$ из $171$ .

$\sqrt{9 (19) + 18 \sqrt{2}}$

Этап 9.2

Вынесем множитель $9$ из $18 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{9 (19) + 9 (2 \sqrt{2})}$

Этап 9.3

Вынесем множитель $9$ из $9 (19) + 9 (2 \sqrt{2})$ .

$\sqrt{9 (19 + 2 \sqrt{2})}$

Этап 9.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2} (19 + 2 \sqrt{2})}$

Этап 10

Вынесем члены из-под знака корня.

$3 \sqrt{19 + 2 \sqrt{2}}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$3 \sqrt{19 + 2 \sqrt{2}}$

Десятичная форма:

$14.01627069 \dots$