Тригонометрия Примеры

$\sqrt{\frac{1 + \frac{2 \sqrt{2}}{3}}{1 - \frac{2 \sqrt{2}}{3}}}$

Этап 1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{3}{3} + \frac{2 \sqrt{2}}{3}}{1 - \frac{2 \sqrt{2}}{3}}}$

Этап 2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{3}}{1 - \frac{2 \sqrt{2}}{3}}}$

Этап 3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{3}}{\frac{3}{3} - \frac{2 \sqrt{2}}{3}}}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{3}}{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{3}}}$

Этап 5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{3}{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Этап 6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{3}{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Этап 6.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \frac{1}{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Этап 7

Умножим $\frac{1}{3 - 2 \sqrt{2}}$ на $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) (\frac{1}{3 - 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{3 + 2 \sqrt{2}})}$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{1}{3 - 2 \sqrt{2}}$ на $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{(3 - 2 \sqrt{2}) (3 + 2 \sqrt{2})}}$

Этап 8.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{9 + 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} - 4 {\sqrt{2}}^{2}}}$

Этап 8.3

Упростим.

$\sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{1}}$

Этап 8.4

Разделим $3 + 2 \sqrt{2}$ на $1$ .

$\sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) (3 + 2 \sqrt{2})}$

Этап 9

Развернем $(3 + 2 \sqrt{2}) (3 + 2 \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{3 (3 + 2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (3 + 2 \sqrt{2})}$

Этап 9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{3 \cdot 3 + 3 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (3 + 2 \sqrt{2})}$

Этап 9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{3 \cdot 3 + 3 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot 3 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Этап 10

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\sqrt{9 + 3 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot 3 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Этап 10.1.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\sqrt{9 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \cdot 3 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Этап 10.1.3

Умножим $3$ на $2$ .

$\sqrt{9 + 6 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Этап 10.1.4

Умножим $2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\sqrt{9 + 6 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 10.1.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sqrt{9 + 6 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Этап 10.1.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sqrt{9 + 6 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Этап 10.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{9 + 6 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 10.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{9 + 6 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 10.1.5

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{9 + 6 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 10.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{9 + 6 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 10.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{9 + 6 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{9 + 6 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{9 + 6 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{1}}$

Этап 10.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{9 + 6 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 2}$

Этап 10.1.6

Умножим $4$ на $2$ .

$\sqrt{9 + 6 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} + 8}$

Этап 10.2

Добавим $9$ и $8$ .

$\sqrt{17 + 6 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2}}$

Этап 10.3

Добавим $6 \sqrt{2}$ и $6 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{17 + 12 \sqrt{2}}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\sqrt{17 + 12 \sqrt{2}}$

Десятичная форма:

$5.82842712 \dots$