Тригонометрия Примеры

$v (\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}})$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$v \frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Этап 1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$v \frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$v \frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Этап 2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$v \frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Этап 3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$v (\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}})$

Этап 4

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$v (\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}})$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$v ((2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}})$

Этап 5

Умножим

$\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ на

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$v ((2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}))$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим

$\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ на

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$v ((2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})})$

Этап 6.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$v ((2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}})$

Этап 6.3

Упростим.

$v ((2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2})$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$v (2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2})$

Этап 6.5

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Сократим общий множитель.

$v (2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2})$

Этап 6.5.2

Перепишем это выражение.

$v (2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2})$

Этап 6.6

Объединим

$\sqrt{2}$ и

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2})$

Этап 7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2})$

Этап 7.2

Перенесем

$2$ влево от

$\sqrt{2}$ .

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2})$

Этап 7.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2})$

Этап 7.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим

$2$ на

$2$ .

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2})$

Этап 7.4.2

Перепишем

$4$ в виде

$2^{2}$ .

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2})$

Этап 7.4.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2})$

Этап 7.5

Сократим общий множитель

$2 \sqrt{2} + 2$ и

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель

$2$ из

$2 \sqrt{2}$ .

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2})$

Этап 7.5.2

Вынесем множитель

$2$ из

$2$ .

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2})$

Этап 7.5.3

Вынесем множитель

$2$ из

$2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ .

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2})$

Этап 7.5.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.4.1

Вынесем множитель

$2$ из

$2$ .

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)})$

Этап 7.5.4.2

Сократим общий множитель.

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1})$

Этап 7.5.4.3

Перепишем это выражение.

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1})$

Этап 7.5.4.4

Разделим

$\sqrt{2} + 1$ на

$1$ .

$v (2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1)$

Этап 8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим

$2$ и

$1$ .

$v (3 + \sqrt{2} + \sqrt{2})$

Этап 8.2

Добавим

$\sqrt{2}$ и

$\sqrt{2}$ .

$v (3 + 2 \sqrt{2})$

Этап 8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$v \cdot 3 + v (2 \sqrt{2})$

Этап 8.4

Перенесем

$3$ влево от

$v$ .

$3 \cdot v + v (2 \sqrt{2})$

Этап 9

Перенесем

$2$ влево от

$v$ .

$3 v + 2 v \sqrt{2}$