Тригонометрия Примеры

$\frac{5 \sqrt{2} + \sqrt{10}}{10 \sqrt{2} - \sqrt{10}}$

Этап 1

Умножим $\frac{5 \sqrt{2} + \sqrt{10}}{10 \sqrt{2} - \sqrt{10}}$ на $\frac{10 \sqrt{2} + \sqrt{10}}{10 \sqrt{2} + \sqrt{10}}$ .

$\frac{5 \sqrt{2} + \sqrt{10}}{10 \sqrt{2} - \sqrt{10}} \cdot \frac{10 \sqrt{2} + \sqrt{10}}{10 \sqrt{2} + \sqrt{10}}$

Этап 2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{5 \sqrt{2} + \sqrt{10}}{10 \sqrt{2} - \sqrt{10}}$ на $\frac{10 \sqrt{2} + \sqrt{10}}{10 \sqrt{2} + \sqrt{10}}$ .

$\frac{(5 \sqrt{2} + \sqrt{10}) (10 \sqrt{2} + \sqrt{10})}{(10 \sqrt{2} - \sqrt{10}) (10 \sqrt{2} + \sqrt{10})}$

Этап 2.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(5 \sqrt{2} + \sqrt{10}) (10 \sqrt{2} + \sqrt{10})}{100 {\sqrt{2}}^{2} + 10 \sqrt{20} - 10 \sqrt{20} - {\sqrt{10}}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

$\frac{(5 \sqrt{2} + \sqrt{10}) (10 \sqrt{2} + \sqrt{10})}{190}$

Этап 3

Развернем $(5 \sqrt{2} + \sqrt{10}) (10 \sqrt{2} + \sqrt{10})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 \sqrt{2} (10 \sqrt{2} + \sqrt{10}) + \sqrt{10} (10 \sqrt{2} + \sqrt{10})}{190}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 \sqrt{2} (10 \sqrt{2}) + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2} + \sqrt{10})}{190}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 \sqrt{2} (10 \sqrt{2}) + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Этап 4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $5 \sqrt{2} (10 \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Умножим $10$ на $5$ .

$\frac{50 \sqrt{2} \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Этап 4.1.1.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{50 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Этап 4.1.1.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{50 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Этап 4.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{50 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Этап 4.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{50 {\sqrt{2}}^{2} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Этап 4.1.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{50 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Этап 4.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{50 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Этап 4.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{50 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Этап 4.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{50 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Этап 4.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{50 \cdot 2^{1} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Этап 4.1.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{50 \cdot 2 + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Этап 4.1.3

Умножим $50$ на $2$ .

$\frac{100 + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Этап 4.1.4

Умножим $5 \sqrt{2} \sqrt{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{100 + 5 \sqrt{10 \cdot 2} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Этап 4.1.4.2

Умножим $10$ на $2$ .

$\frac{100 + 5 \sqrt{20} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Этап 4.1.5

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\frac{100 + 5 \sqrt{4 (5)} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Этап 4.1.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{100 + 5 \sqrt{2^{2} \cdot 5} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Этап 4.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{100 + 5 (2 \sqrt{5}) + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Этап 4.1.7

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Этап 4.1.8

Умножим $\sqrt{10} (10 \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 10 \sqrt{10 \cdot 2} + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Этап 4.1.8.2

Умножим $10$ на $2$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 10 \sqrt{20} + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Этап 4.1.9

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 10 \sqrt{4 (5)} + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Этап 4.1.9.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 10 \sqrt{2^{2} \cdot 5} + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Этап 4.1.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 10 (2 \sqrt{5}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Этап 4.1.11

Умножим $2$ на $10$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5} + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Этап 4.1.12

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5} + \sqrt{10 \cdot 10}}{190}$

Этап 4.1.13

Умножим $10$ на $10$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5} + \sqrt{100}}{190}$

Этап 4.1.14

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5} + \sqrt{10^{2}}}{190}$

Этап 4.1.15

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5} + 10}{190}$

Этап 4.2

Добавим $100$ и $10$ .

$\frac{110 + 10 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5}}{190}$

Этап 4.3

Добавим $10 \sqrt{5}$ и $20 \sqrt{5}$ .

$\frac{110 + 30 \sqrt{5}}{190}$

Этап 5

Сократим общий множитель $110 + 30 \sqrt{5}$ и $190$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $10$ из $110$ .

$\frac{10 (11) + 30 \sqrt{5}}{190}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $10$ из $30 \sqrt{5}$ .

$\frac{10 (11) + 10 (3 \sqrt{5})}{190}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $10$ из $10 (11) + 10 (3 \sqrt{5})$ .

$\frac{10 (11 + 3 \sqrt{5})}{190}$

Этап 5.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $10$ из $190$ .

$\frac{10 (11 + 3 \sqrt{5})}{10 \cdot 19}$

Этап 5.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{10 (11 + 3 \sqrt{5})}{10 \cdot 19}$

Этап 5.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{11 + 3 \sqrt{5}}{19}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{11 + 3 \sqrt{5}}{19}$

Десятичная форма:

$0.93201073 \dots$